Exercice 10-10
Une fonction dérivable \(F\) est une primitive de \(f\) si \(F'=f\). Trouver des primitives pour les fonctions suivantes.
  1. \(f(x)=x^n\) (\(n\neq -1\))
  2. \(f(x)=\frac{1}{x}\)
  3. \(f(x)=\sin(x)\)
  4. \(f(x)=\cos(x)\)
  5. \(f(x)=\tan^2(x)\)
  6. \(f(x)=\tan(x)\)
  7. \(f(x)=e^x\)
  8. \(f(x)=e^{cx}\) (\(c\neq 0\))
  9. \(f(x)=\sinh(x)\)
  10. \(f(x)=\cosh(x)\)
  11. \(f(x)=\frac{2x}{1-x^{2}}\)
  12. \(f(x)=x\exp(x^{2})\)
Attention: Ceci n'est pas un exercice sur les ''techniques d'intégration'', que nous verrons plus tard: aucune méthode sophistiquée n'est nécessaire pour trouver les primitives des fonctions données ici; on les déduit simplement à partir de la connaissance des règles de dérivation et des dérivées des fonctions élémentaires.
Les primitives \(F\) sont définies à une constante \(C\in\mathbb{R}\) près.
  1. \(F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\). En effet, \[ (\frac{x^{n+1}}{n+1}+C)'=\frac{1}{n+1}(x^{n+1})'=x^n\,. \]
  2. \(F(x)=\log(|x|)+C\). En effet, si \(x\gt 0\), alors \[F'(x)=(\log(x))'=\frac{1}{x}\,,\] et si \(x\lt 0\), alors \[F'(x)=(\log(-x))'=\frac{1}{-x}(-1)=\frac1x\,.\]
  3. \(F(x) = -\cos(x)+C\)
  4. \(F(x) = \sin(x)+C\)
  5. \(F(x)=\tan(x)-x+C\). En effet, \[ (\tan(x)-x)'=(1+\tan^2(x))-1\,. \]
  6. \(F(x) = -\log\left(|\cos(x)|\right)+C\)
  7. \(F(x) = e^x+C\quad\)
  8. \(F(x) = \frac{1}{c}e^{cx}+C\)
  9. \(F(x) = \cosh(x)+C\)
  10. \(F(x) = \sinh(x)+C\)
  11. \(F(x)=-\log(|1-x^2|)+C\), car \((1-x^2)'=-2x\).
  12. \(F(x)=\frac{1}{2}\exp(x^{2})+C\), car \((e^{x^2})'=2xe^{x^2}\).