Exercice 14-09
Utiliser des comparaisons pour étudier la convergence/divergence des intégrales généralisées ci-dessous.
  1. \(\displaystyle\int_{1}^\infty\bigl(\frac{\sin x}{x}\bigr)^2\,dx\)
  2. \(\displaystyle\int_0^\infty\frac{1}{\sqrt[5]{x^8}+2}\,dx\)
  3. \(\displaystyle\int_0^\infty\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt[3]{x^7+1}}\,dx\)
  4. \(\displaystyle \int_{0^+}^1\frac{\sin(x)}{x}\,dx\)
  5. \(\displaystyle \int_{2^+}^{5^-}\frac{1}{\sqrt{7x-10-x^2}} \,dx\)
  6. \(\displaystyle\int_0^\infty\frac{1}{2+\cosh(x)}\,dx\)
Comme dans l'étude des séries, une comparaison permet parfois de déterminer si une intégrale généralisée converge ou diverge, sans la calculer exactement mais en la comparant avec une autre intégrale plus simple.
  1. Puisque \(|(\frac{\sin x}{x})^2|\leqslant \frac{1}{x^2}\), et puisque \(\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}\) converge (\(p=2\gt 1\)), l'intégrale converge.
  2. On remarque que lorsque \(x\) est grand, le comportement du dénominateur est en \(\sqrt[5]{x^8}\), qui est un exposant \(p=\frac{8}{5}\gt 1\), donc l'intégrale doit converger. Pour le démontrer, on commence par écrire \[ \int_0^\infty\frac{1}{\sqrt[5]{x^8}+2}\,dx = \int_0^1\frac{1}{\sqrt[5]{x^8}+2}\,dx + \int_1^\infty\frac{1}{\sqrt[5]{x^8}+2}\,dx\,. \] La première intégrale est bien définie, et finie, puisque c'est l'intégrale de Riemann/Darboux d'une fonction continue sur un intervalle fermé et borné. Pour la seconde, remarquons que l'on peut majorer \[0\leqslant \frac{1}{\sqrt[5]{x^8}+2}\leqslant \frac{1}{\sqrt[5]{x^8}}=\frac{1}{x^{8/5}}\,,\] dont l'intégrale impropre sur \([1,\infty]\) est finie puisque \(8/5\gt 1\). Donc toute l'intégrale de départ converge. On a dû séparer l'intégrale en deux morceaux, parce que si on avait directement écrit que ''\(\int_{0^+}^\infty\frac{1}{\sqrt[5]{x^8}+2}\,dx\leqslant \int_{0^+}^\infty\frac{1}{\sqrt[5]{x^8}}\,dx\)'', et cette dernière est infinie parce qu'elle inclut l'intégration de \(\frac{1}{\sqrt[5]{x^8}}\) en \(0^+\)!
  3. Remarquons que la fonction \(f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt[3]{x^7+1}}\) est strictement positive sur \([0,+\infty[\), et que si \(g(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^7}}=\frac{1}{x^{11/6}}\), l'intégrale \(\int_1^\infty g(x)\,dx\) converge puisque \(11/6\gt 1\), et comme \[ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1\gt 0\,, \] \(\int_1^\infty f(x)\,dx\) converge aussi.
  4. Rappelons que \(0\leqslant \sin(x)\leqslant x\) pour tout \(0\leqslant x\leqslant \frac{\pi}{2}\), et donc \(0\leqslant \frac{\sin x}{x}\leqslant 1\) pour tout \(0\lt x\leqslant 1\), et comme \(g(x)=1\) a une intégrale généralisée qui est évidemment convergente sur \(]0,1]\), le critère de comparaison garantit que celle de \(f(x)=\frac{\sin(x)}{x}\) l'est aussi.
  5. Posons et factorisons \[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{7x-10-x^2}} =\frac{1}{\sqrt{(x-2)(5-x)}}\,.\] Décomposons l'intégrale en deux parties: \[ \int_{2^+}^{5^-}f(x)\,dx = \int_{2^+}^{3}f(x)\,dx+ \int_{3}^{5^-}f(x)\,dx\,. \] (Le point où on décompose, ici on a pris \(3\), n'a pas d'importance.) On applique ensuite deux fois le critère de la limite du quotient. D'abord, on peut remarquer qu'en posant \(g_2(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}\), alors \[ \lim_{x\to 2^+}\frac{f(x)}{g_2(x)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\gt 0\,, \] et comme \(\int_{2^+}^3g_2(x)\,dx\) converge, on en déduit que \(\int_{2^+}^{3}f(x)\,dx\) converge. Ensuite, en posant \(g_5(x)=\frac{1}{\sqrt{5-x}}\), \[ \lim_{x\to 5^-}\frac{f(x)}{g_5(x)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\gt 0\,, \] et comme \(\int_{3}^{5^-} g_5(x)\,dx\) converge, on en déduit que \(\int_{3}^{5^-}f(x)\,dx\) converge aussi. Donc toute l'intégrale converge.
  6. Remarquons que \[ 0\leqslant \frac{1}{2+\cosh(x)}= \frac{1}{2+\frac{e^x+e^{-x}}{2}}= \frac{1}{\frac{e^{x}}{2}+\underbrace{(2+\frac{e^{-x}}{2})}_{\geqslant 0}} \leqslant 2e^{-x}\,. \] Puisque \(\int_0^\infty e^{-x}\,dx\) converge, le critère de comparaison implique que \(\int_0^\infty\frac{1}{2+\cosh(x)}\,dx\) converge aussi.