Exercice 14-12
Montrer que pour tout \(x\in \mathbb{R}\), le nombre \(\Phi(x)\) ci-dessous est
bien défini:
\[\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-t^2/2}\,dt\,.\]
Remarque:
En théorie des probabilités (et statistiques), \(\Phi(x)\) est appelée la
fonction de répartition
de la variable aléatoire Gaussienne de distribution \(\mathcal{N}(0,1)\).
Remarquons que pour tout \(x\in \mathbb{R}\), on peut toujours décomposer
\[ \Phi(x)
=\int_{-\infty}^x e^{-t^2/2}\,dt
=\int_{-\infty}^{-1} e^{-t^2/2}\,dt
+\int_{-1}^x e^{-t^2/2}\,dt\,.
\]
La deuxième intégrale étant toujours une intégrale de Riemann/Darboux finie,
elle ne pose pas de problème. Ce que l'on doit vérifier c'est que la première,
qui par parité peut s'écrire
\[
\int_{-\infty}^{-1} e^{-t^2/2}\,dt=\int_{1}^{\infty} e^{-t^2/2}\,dt\,,
\]
est convergente.
Comme on ne sait pas calculer de primitive pour \(e^{-t^2/2}\), on
montre que cette dernière est finie par comparaison. En effet, on peut écrire
que \(t^2\geqslant t\) dès que \(t\geqslant 1\), ce qui entraîne
\(0\leqslant e^{-t^2/2}\leqslant e^{-t/2}\) pour tout \(t\geqslant 1\). Mais comme
\[
\int_1^\infty e^{-t/2}\,dt
=
\lim_{L\to\infty}\int_1^L e^{-t/2}\,dt
=
\lim_{L\to\infty}
(-2e^{-t/2})\Big|_1^L
=2/\sqrt{e}\,,
\]
qui est finie, on a que
\(\int_{-\infty}^{-1} e^{-t^2/2}\,dt\) converge aussi.