Exercice 14-11
La fonction Gamma, \(\Gamma:\mathbb{R}_+^*\to \mathbb{R}\), est définie par \[ \Gamma(z):=\int_0^\infty x^{z-1}e^{-x}\,dx\,. \]
  1. Montrer que \(\Gamma(z)\) est bien défini pour tout \(z\gt 0\).
  2. Calculer \(\Gamma(1)\), \(\Gamma(2)\), \(\Gamma(3)\).
  3. Montrer que pour tout \(z\gt 0\), \(\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\).
  4. Conclure que sur les entiers, \(\Gamma(n)=(n-1)!\) (factorielle de \(n-1\)).
La Fonction Gamma possède beaucoup de propriétés remarquables, l'une d'elles étant qu'elle généralise la notion de factorielle (partie 4).

On remarque que si \(0\lt z\lt 1\), alors \(x^{z-1}=\frac{1}{x^{1-z}}\to +\infty\) lorsque \(x\to 0^+\), donc on doit considérer \(\Gamma(z)\) comme étant défini par une intégrale impropre: \[ \Gamma(z):=\int_{0^+}^\infty x^{z-1}e^{-x}\,dx\,. \]

On pourra séparer l'intégrale en deux. \[ \int_{0^+}^\infty x^{z-1}e^{-x}\,dx =\int_{0^+}^{L_0}x^{z-1}e^{-x}\,dx + \int_{L_0}^\infty x^{z-1}e^{-x}\,dx \,.\]

Cette intégrale peut poser problème si \(z-1\lt 0\).

On prendra garde à distinguer les cas: \(z-1\lt 0\) et \(z-1\ geq 0\). Dans ce deuxième cas, remarquons qu'on a toujours \((z-1)\log(x)\leqslant \frac12 x\) dès que \(x\) est suffisamment grand.

\[ \Gamma(z):=\int_{0^+}^\infty x^{z-1}e^{-x}\,dx\,. \]
  1. C'est a priori une intégrale généralisée de Type III: en \(0\) et en \(+\infty\). On étudie séparément ces deux difficultés, en séparant l'intégrale en deux parties: \[ \int_{0^+}^\infty x^{z-1}e^{-x}\,dx= \int_{0^+}^{L_0} x^{z-1}e^{-x}\,dx+ \int_{L_0}^\infty x^{z-1}e^{-x}\,dx\,, \] où \(L_0\gt 1\) sera choisi plus bas. Pour la première partie, \[ 0\leqslant \int_{0^+}^{L_0} x^{z-1}e^{-x}\,dx \leqslant \int_{0^+}^{L_0} x^{z-1}\,dx = \int_{0^+}^{L_0} \frac{1}{x^{1-z}}\,dx \] Comme on ne considère que \(z\gt 0\), on garantit \(1-z\lt 1\), donc cette dernière intégrale généralisée est convergente.

    Pour la deuxième, on considère les cas:
    • Si \(z-1\leqslant 0\), alors \[ \int_{L_0}^\infty x^{z-1}e^{-x}\,dx\leqslant \int_{L_0}^\infty e^{-x}\,dx\,, \]
    • Si \(z-1 \gt 0\), on écrit \(x^{z-1}=e^{(z-1)\log(x)}\), et comme \(\frac{\log(x)}{x}\to 0\) lorsque \(x\to \infty\), on peut supposer que \(L_0\) est suffisamment grand, tel que \((z-1)\log(x)\leqslant \frac12 x\) pour tout \(x\geqslant L_0\). et donc \[ \int_{L_0}^\infty x^{z-1}e^{-x}\,dx\leqslant \int_{L_0}^\infty e^{-\frac12 x}\,dx\,, \] qui est convergente.
    Donc l'intégrale qui définit \(\Gamma(z)\) converge pour tout \(z\gt 0\).
  2. Un calcul direct (intégration par parties) donne \(\Gamma(1)=1\), \(\Gamma(2)=1\), \(\Gamma(3)=2\).
  3. On a, pour \(z\gt 0\), \[ \Gamma(z+1)=\lim_{L\to\infty} \int_0^L x^{(z+1)-1}e^{-x}\,dx\,. \] Remarquons que pour tout \(L\), et tout \(z\gt 0\), en intégrant par parties, \[\begin{aligned} \int_0^Lx^{(z+1)-1}e^{-x}\,dx &= \int_0^Le^{-x}x^{z}\,dx\\ &= -e^{-x}x^{z}\Bigr|_{0}^L +\int_0^Le^{-x}zx^{z-1}\,dx \end{aligned}\] Le premier terme tend vers zéro quand \(L\to\infty\), et le second tend vers \[ z \lim_{L\to\infty} \int_0^Le^{-x}x^{z-1}\,dx=z\Gamma(z)\,. \]
  4. En itérant le résultat précédent, \[\begin{aligned} \Gamma(n)&=(n-1)\Gamma(n-1)\\ &=(n-1)(n-2)\Gamma(n-2)\\ &=\cdots\\ &=(n-1)! \end{aligned}\]