Exercice 01-07
Soient \(f,g\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\). Vrai ou faux?
  1. \(f \circ g = g \circ f \quad \Leftrightarrow \quad f=g\).
  2. Si \(f\) et \(g\) sont injectives, alors \(f\circ g\) est injective.
  3. Si \(f\circ f \) est injective, alors \(f\) est injective.
  4. Si \(f \circ g\) est injective, alors \(g\) est injective.
  5. Si \(f \circ g\) est injective, alors \(f\) est injective.
  6. Si \(f \circ g\) est surjective, alors \(f\) est surjective.
Pour montrer qu'une affirmation est VRAIE, on doit donner une preuve; pour démontrer qu'elle est FAUSSE, on doit pouvoir exhiber un contre-exemple.
  1. FAUX. Prendre par exemple \(f(x)=x\) et \(g(x)=x^2\) qui satisfont \((f\circ g) (x)= x^2=(g\circ f)(x)\) avec \(f\neq g\).
  2. VRAI. Soient \(x_1,x_2\in \mathbb{R}\) tels que \(f(g(x_1))=f(g(x_2))\). Comme \(f\) est injective, on a \(g(x_1)=g(x_2)\), et par l'injectivité de \(g\), il suit que \(x_1=x_2\). Ainsi \(f\circ g\) est bien injective.
  3. VRAI. Soient \(x_1,x_2 \in \mathbb{R}\) tels que \(f(x_1)=f(x_2)\). En prenant encore \(f\) des deux côtés, on a \(f(f(x_1))=f(f(x_2))\). Comme \(f\circ f\) est injective, on conclut que \(x_1=x_2\), et donc \(f\) est injective.
  4. VRAI. Soient \(x_1,x_2 \in \mathbb{R}\) tels que \(g(x_1)=g(x_2)\). Donc on a \(f(g(x_1))=f(g(x_2))\). Comme \(f\circ g\) est injective, on conclut que \(x_1=x_2\) et donc \(g\) est injective.
  5. FAUX. Prendre par exemple \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=e^x\) qui sont définies de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). Alors \(f\) n'est pas injective mais \((f \circ g)(x)=e^{2x}\) est injective.
  6. VRAI. Soit \(y\in \mathbb{R}\). Comme \(f\circ g\) est surjective, il existe \(x\in \mathbb{R}\) tel que \((f\circ g)(x)=y\). En posant \(z=g(x)\) on a trouvé un \(z\in\mathbb{R}\) tel que \(f(z)=y\). Ainsi \(f\) est surjective.