Exercice 02-07
Soient \(A,B\subset \mathbb{R}\) deux ensembles bornés.
  1. Montrer que si \(A\subset B\), alors \(\sup A\leqslant \sup B\) et \(\inf A\geqslant \inf B\).
  2. Si \(x\leqslant y\) pour tout \(x\in A\) et tout \(y\in B\), montrer que \(\sup A\leqslant \inf B\).
  3. Donner un exemple de deux ensembles disjoints \(A,B\) tels que \(x\lt y\) pour tout \(x\in A\) et tout \(y\in B\), et pour lesquels \(\sup A= \inf B\).
  4. Donner un exemple de deux ensembles disjoints \(A,B\) tels que \(\inf A=\inf B\).
Les trois premières propriétés se démontrent à l'aide de la définition de supremum/infimum.

Avant de se lancer dans une démonstration, on pourra faire quelques croquis pour se convaincre que ces propriétés sont effectivement vraies, au moins dans des cas simples.

Comme le supremum de \(B\) majore \(B\), on a \(y\leqslant \sup B\) pour tout \(y\in B\).

  1. Par définition, on a \(y\leqslant \sup B\) pour tout \(y\in B\), et donc en particulier \(x\leqslant \sup B\) pour tout \(x\in A\) (puisque \(A\subset B\)). Ceci implique que \(\sup B\) majore \(A\). Comme \(\sup A\) est le plus petit majorant de \(A\), on a \(\sup A\leqslant \sup B\).
  2. Fixons \(y\in B\). Puisque \(x\leqslant y\) pour tout \(x\in A\), \(y\) majore \(A\). Comme \(\sup A\) est le plus petit majorant de \(A\), ceci implique \(\sup A\leqslant y\).

    On a donc que \(\sup A\leqslant y\) pour tout \(y\in B\), ce qui implique que \(\sup A\) minore \(B\). Comme \(\inf B\) est le plus grand minorant de \(B\), on a bien \(\sup A\leqslant \inf B\).
  3. Prenons \(A=]-1,0[\), \(B=]0,1[\): on a \(x\lt y\) pour tout \(x\in A,y\in B\), \(A\cap B=\varnothing\), mais \(\sup A=\inf B=0\).
  4. Pour faire simple, on peut prendre \(A=\{0\}\) (l'ensemble ne contenant que le zéro) et \(B=]0,1[\). Ces ensembles sont alors disjoints, \(A\cap B=\varnothing\), et on a bien que \(\inf A=\inf B=0\).

    Pour faire plus intéressant, prenons des ensembles un peu plus ''intriqués'': \(A=\{\frac{1}{2n}\,:\,n\in\mathbb{N}^*\}\), qui contient les inverses de tous les entiers pairs, et \(B=\{\frac{1}{2n+1}\,:\,n\in\mathbb{N}^*\}\), qui contient les inverses de tous les entiers impairs. Alors \(A\cap B=\varnothing\), mais \(\inf A=\inf B=0\).