Puisqu'un tel intervalle \(A\) est forcément d'un des quatre types suivant: \[ [a,b]\,,\quad [a,b[\,,\quad ]a,b]\,,\quad ]a,b[\,, \] avec \(a\lt b\), ceci implique dans tous les cas que \[ \inf A=a\,,\qquad \sup A=b\,. \]

1. VRAI. En effet, si \(\sup A \in A\,\) et \(\inf A \in A\), c'est-à-dire \(a\in A\) et \(b\in A\), donc \(A=[a,b]\): \(A\) est fermé.
2. VRAI. En effet, si \(A\) est fermé, alors il est de la forme \(A=[a,b]\), et puisque \(\inf A=a\) et \(\sup A=b\), ceci implique \(\sup A \in A\) et \(\inf A \in A\).
3. VRAI. En effet, si \(\sup A \not\in A\) et \(\inf A \not\in A\), alors \(A=]a,b[\), et est donc ouvert.
4. VRAI. En effet, si \(A\) est ouvert, c'est qu'il est de la forme \(A=]a,b[\), et donc \(\inf A\notin A\) et \(\sup A\notin A\).

Cet exercice a donc montré qu'un intervalle borné et non-vide est

• fermé si et seulement si il contient son infimum et son supremum,
• ouvert si et seulement si il ne contient ni son infimum ni son supremum.

Insistons sur le fait que ces propriétés ne sont vraies que pour les intervalles bornés! Par exemple, l'ensemble \(A=[0,1[\cup ]2,3]\) (qui n'est pas un intervalle mais une union d'intervalles) contient son infimum et son supremum, mais il n'est pas pour autant fermé.