Exercice 08-08
Dans chacun des cas ci-dessous, donner (sans faire de calculs), s'ils existent, \[ \sup_{x\in A}f(x)\,,\quad \inf_{x\in A}f(x)\,,\quad \max_{x\in A}f(x)\,,\quad \min_{x\in A}f(x)\,. \]
  1. \(f(x)=x\), \(A=\mathbb{R}\)
  2. \(f(x)=\frac1x\), \(A=\mathbb{R}^*_+\)
  3. \(f(x)=x^2\), \(A=[1,4[\).
  4. \(f(x)=\sin(x)\), \(A=]-\frac{\pi}{2},\pi[\)
  5. \(f(x)=\frac{1}{x^2-1}\), \(A=]-1,1[\)
  6. \(f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}\), \(A=\mathbb{R}\)
Rappelons que Dans cet exercice un simple croquis permet de répondre à la question posée.
  1. \(\sup_{x\in A}f(x)=+\infty\), \(\inf_{x\in A}f(x)=-\infty\), mais n'a ni minimum ni maximum.
  2. \(\sup_{x\in A}f(x)=+\infty\), \(\inf_{x\in A}f(x)=0\), n'a pas de minimum ni de maximum.
  3. \(\sup_{x\in A}f(x)=16\), mais n'a pas de maximum, \(\inf_{x\in A}f(x)=\min_{x\in A}f(x)=f(1)=1\).
  4. \(\sup_{x\in A}f(x)=\max_{x\in A}f(x)=f(\frac{\pi}{2})=1\). Ensuite, \(\inf_{x\in A}f(x)=-1\). En effet, pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un \(x_*\in ]-\frac{\pi}{2},\pi]\) (proche de \(-\frac{\pi}{2}\)), tel que \(-1\leqslant f(x_*)\leqslant -1+\varepsilon\). Par contre, le minimum n'est pas atteint.
  5. \(\sup_{x\in A}f(x)=\max_{x\in A}f(x)=-1\), \(\inf_{x\in A}f(x)=-\infty\), n'a pas de minimum.
  6. \(\sup_{x\in A}f(x)=1\) (en effet \(f(x)\leqslant 1\) et pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un \(x_*\) tel que \(1-\varepsilon\leqslant f(x_*)\leqslant 1\)), \(\inf_{x\in A}f(x)=0\), atteint son minimum en \(x=0\), mais n'a pas de maximum.