Exercice 08-06
Donner le domaine de définition et étudier la parité et la périodicité des fonctions ff suivantes en donnant la période le cas échéant.
  1. f(x)=x4cos⁡(3x)1+sin⁡(x)2f(x) = \dfrac{x^4 \cos(3x)}{1+\sin(x)^2}
  2. f(x)=2sin⁡(12x)cos⁡(13x)f(x)=2\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\cos \left(\frac{1}{3}x\right)
  3. f(x)=tan⁡(3x)+cos⁡(πx)f(x)=\tan(3x)+\cos(\pi x)
  4. f(x)=(x−⌊x⌋)2f(x)=(x-\lfloor x\rfloor)^2,
  1. D(f)=RD(f)=\mathbb{R}. ff est paire parce que les fonctions x4,cos⁡x^4,\cos et sin⁡2\sin^2 sont paires. ff n'est pas périodique (à cause du terme x4x^4).
  2. D(f)=RD(f)=\mathbb{R}. sin⁡(12x)\sin\left(\frac{1}{2}x\right) est impair et 4π4\pi-périodique; cos⁡(13x)\cos\left(\frac{1}{3}x\right) est pair et 6π6\pi-périodique. Ainsi ff est impaire et 12π12\pi-périodique.
  3. La fonction tan⁡(3x)\tan(3x) n'est pas définie pour x∈{π6+k⋅π3:k∈Z}x \in \left\{\frac{\pi }{6}+k\cdot \frac{\pi }{3}: k\in \mathbb{Z}\right\}, donc D(f)=R\{π6+k⋅π3:k∈Z}.D(f)=\mathbb{R}\left\backslash \left\{\frac{\pi }{6}+k\cdot \frac{\pi }{3}: k\in \mathbb{Z}\right\}\right.. tan⁡(3x)\tan(3x) est π3\frac{\pi}{3}-périodique et impaire. cos⁡(πx)\cos(\pi x) est 22-périodique et paire. Donc ff n'est ni paire ni impaire. De plus, ff n'est pas périodique car π/32∉Q\dfrac{\pi/3}{2} \notin \mathbb{Q}.
  4. D(f)=RD(f)=\mathbb{R}. Remarquons que f(1/3)=(−13−0)2=1/9f(1/3)=(-\frac13-0)^2=1/9 et f(−1/3)=(−13−(−1))2=4/9f(-1/3)=(-\frac13-(-1))^2=4/9, donc ff n'est ni paire, ni impaire. Montrons que ff est 11-périodique. En effet, pour tout réel xx, il existe un réel α(x)∈[0,1[\alpha(x)\in [0,1[, appelé partie fractionnaire de xx, tel que x=⌊x⌋+α(x) . x=\lfloor x\rfloor +\alpha(x)\,. (En mots: tout réel xx est la somme de sa partie entière ⌊x⌋\lfloor x \rfloor et de sa partie fractionnaire α(x)\alpha(x).)

    Clairement, α(x)\alpha(x) est périodique, de période 11: α(x±1)=α(x)\alpha(x\pm 1)=\alpha(x): on ne change pas la partie fractionnaire d'un réel si on le décale de 11 unité vers la droite/gauche. (Par exemple, si x=π=3.141529…x=\pi=3.141529\dots, alors α(x)=0.141529…\alpha(x)=0.141529\dots, et donc x+1=4.141529…x+1=4.141529\dots, qui satisfait α(x+1)=0.141529⋯=α(x)\alpha(x+1)=0.141529\dots=\alpha(x).) Et 11 est le plus petit réel t>0t\gt 0 avec cette propriété.

    Ceci montre que la fonction x−⌊x⌋=α(x)x-\lfloor x \rfloor=\alpha(x) est périodique, de période 11. Ceci implique que f(x)=α(x)2f(x)=\alpha(x)^2 est aussi de période 11. En effet, si ff était tt-périodique avec t<1t\lt 1, le fait que α(x)⩾0\alpha(x)\geqslant 0 implique que α(x)=f(x)\alpha(x)=\sqrt{f(x)} serait aussi tt-périodique.