- \(D(f)=\mathbb{R}\). \(f\) est paire parce que les fonctions \(x^4,\cos\) et \(\sin^2\) sont paires. \(f\) n'est pas périodique (à cause du terme \(x^4\)).
- \(D(f)=\mathbb{R}\). \(\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\) est impair et \(4\pi\)-périodique; \(\cos\left(\frac{1}{3}x\right)\) est pair et \(6\pi\)-périodique. Ainsi \(f\) est impaire et \(12\pi\)-périodique.
- La fonction \(\tan(3x)\) n'est pas définie pour \(x \in \left\{\frac{\pi }{6}+k\cdot \frac{\pi }{3}: k\in \mathbb{Z}\right\}\), donc \[D(f)=\mathbb{R}\left\backslash \left\{\frac{\pi }{6}+k\cdot \frac{\pi }{3}: k\in \mathbb{Z}\right\}\right..\] \(\tan(3x)\) est \(\frac{\pi}{3}\)-périodique et impaire. \(\cos(\pi x)\) est \(2\)-périodique et paire. Donc \(f\) n'est ni paire ni impaire. De plus, \(f\) n'est pas périodique car \(\dfrac{\pi/3}{2} \notin \mathbb{Q}\).
- \(D(f)=\mathbb{R}\).
Remarquons que \(f(1/3)=1/9\) et \(f(-1/3)=4/9\), donc
\(f\) n'est ni paire, ni impaire.
Mais 1-périodique:
En effet, pour tout réel \(x\), il existe un réel \(t(x)\in [0,1[\) tel que \[ x=\lfloor x\rfloor +t(x)\,. \] (En mots: \(x\) est la somme de sa partie entière \(\lfloor x \rfloor\) et de sa partie fractionnaire \(t(x)\).)
Clairement, \(t(x\pm 1)=t(x)\): on ne change pas la partie fractionnaire d'un réel si on le décale de \(1\) unité vers la droite/gauche. (Par exemple, si \(x=\pi=3.141529\dots\), alors \(t(x)=0.141529\dots\), et donc \(x+1=4.141529\dots\), qui satisfait \(t(x+1)=0.141529\dots=t(x)\).)
Par conséquent, \(x-\lfloor x \rfloor=t(x)\) est \(1\)-périodique.