Exercice 08-05
(Périodicité)
  1. Si \(f\) est périodique, sa période est-elle toujours définie?
  2. Si \(f\) est périodique, montrer que \(|f|\) est aussi périodique. La période de \(|f|\) (si elle est définie) est-elle égale à celle de \(f\)?
  3. Si \(|f|\) est périodique, est-ce que \(f\) est aussi périodique?
  1. Non. En effet, une fonction constante est \(t\)-périodique pour tout \(t>0\) mais elle n'a pas de période au sens strict (il n'existe pas de plus petit \(t>0\) tel que \(f\) soit \(t\)-périodique).
  2. \(|f|\) est périodique car, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), \(|f(x+t)|=|f(x)|\), où \(t\) est une période de \(f\). Mais la période de \(|f|\) n'est pas forcément égale à celle de \(f\). Par exemple, \(\sin(x)\) a période \(2\pi\), alors que \(|\sin(x)|\) a période \(\pi\).
  3. Non. Par exemple:
    Ici, \(f\) n'est manifestement pas périodique, alors que \(|f|\) est \(2\)-périodique.