Exercice 11-09
Soient \(f,g\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) des fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) avec \(g'(x)\neq 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Vrai ou faux?
  1. Si \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=\infty\), alors \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}\,\).
  2. Si \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) n'existe pas, alors \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\) n'existe pas.
  1. FAUX. Prendre par exemple \(f(x)=x+\sin(x)\) et \(g(x)=x\). Dans ce cas, \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{\sin(x)}{x}\right) =1\,. \] Pourtant, \[ \frac{f'(x)}{g'(x)}=1+\cos(x)\,, \] qui n'admet pas de limite lorsque \(x\to +\infty\).

    Ici, la règle de Bernoulli-l'Hospital ne s'applique pas.
  2. FAUX. Reprendre les fonctions de la question précédente. Remarque: Dans ce cas particulier (puisque \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=\infty\)), l'affirmation est en quelque sorte une réciproque de Bernoulli-l'Hospital qui est, comme vu à plusieurs reprises, en général fausse.