Exercice 12-01
À l'aide de la formule de Taylor,
établir le développement limité suivant autour de \(x=0\):
\[
\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots
+(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}+x^n\varepsilon(x)
\]
La
formule de Taylor donne, pour une
fonction \(k\) fois dérivable dans le voisinage d'un point \(x_0\), l'expression
du développement limité d'ordre de \(f\) autour de \(x_0\):
\[
f(x)=
f(x_0)+ f'(x_0)(x-x_0)
+\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2
+\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3
+\cdots
+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +R(x)\,,\\
\phantom{2}
\]
où le reste \(R(x)=(x-x_0)^n\varepsilon(x)\), avec
\[ \lim_{x\to x_0}\varepsilon(x)=0\,.
\]
Pour tout \(n\geqslant 1\), \(f(x)=\log(1+x)\) est \(n\) fois continûment
dérivable sur \(I=]-1,1[\). De plus,
\[\begin{aligned}
f'(x)&=(1+x)^{-1}\\
f^{(2)}(x)&=(-1)(1+x)^{-2}\\
f^{(3)}(x)&=(-1)^21\cdot 2\cdot (1+x)^{-3}\\
f^{(4)}(x)&=(-1)^31\cdot 2\cdot 3\cdot (1+x)^{-4}\,,
\vdots&\\
f^{(k)}(x)&=(-1)^{k+1}(k-1)!(1+x)^{-k}\,,\\
\vdots&\\
f^{(n)}(x)&=(-1)^{n+1}(n-1)!(1+x)^{-n}\,.
\end{aligned}\]
On a donc, pour tout \(k=1,\dots,n\),
\[
f^{(k)}(0)=(-1)^{k+1}(k-1)!\,.
\]
Ainsi, comme \(\frac{f^{(k)}(0)}{k!}=\frac{(-1)^{k+1}}{k}\), la formule est
démontrée.