Calculer le \(DL(3)\) de \(\tan(x)\) autour de \(x_0=0\), avec un reste de
la forme \(x^3\varepsilon(x)\), puis montrer que
\[
\tan(x)^2=x^2+\frac{2}{3}x^4+x^4\phi(x)\,,
\]
où \(\phi(x)\) est une fonction que l'on exprimera explicitement en fonction de
\(x\) et \(\varepsilon(x)\), et on vérifiera que \(\phi(x)\) tend
vers zéro lorsque \(x\to 0\).
Utiliser la première partie pour calculer
\[
\lim_{x\to 0}\frac{x^2-\tan(x)^2}{x^2\tan(x)^2}\,,
\]
puis
\[
\lim_{t\to \frac{\pi}{2}}\Bigl\{\tan (t)^2-\frac{1}{(t-\frac{\pi}{2})^2}\Bigr\}
\]
On pourra éventuellement faire le changement de variable
\(x:= t-\frac{\pi}{2}\)
Avec \(f(x)=\tan(x)\), on a
\[\begin{aligned}
f^{(1)}(x)&=1+\tan(x)^2\\
f^{(2)}(x)&=2\tan(x)(1+\tan(x)^2)\\
f^{(3)}(x)&=2(1+\tan(x)^2)+6\tan(x)^2(1+\tan(x)^2)\,,
\end{aligned}\]
ce qui donne le \(DL(3)\):
\[
\tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+x^3\varepsilon(x)\,.
\]
En développant,
\[\begin{aligned}
\tan(x)^2&=
\Big(x+\frac{x^3}{3}+x^3\varepsilon(x)\Bigr)^2\\
&=
x^2+\frac{x^6}{9}+x^6\varepsilon(x)^2
+
\frac23 x^4+2x^4\varepsilon(x)+\frac23 x^6\varepsilon(x)\\
&=
x^2+\frac23 x^4+x^4
\underbrace{\Bigl(
\frac{x^2}{9}+x^2\varepsilon(x)^2+2\varepsilon(x)+\frac23 x^2\varepsilon(x)
\Bigr)}_{=:\phi(x)}\,,
\end{aligned}\]
où \(\phi(x)\to 0\) quand \(x\to 0\).
On peut écrire, à l'aide de ce qui précède,
\[\begin{aligned}
\frac{x^2-\tan(x)^2}{x^2\tan(x)^2}
&=
\frac{x^2-(x^2+\frac{2}{3}x^4+x^4\phi(x))}{x^2(x^2+\frac{2}{3}x^4+x^4\phi(x))}\\
&=
\frac{-\frac{2}{3}x^4-x^4\phi(x))}{x^4(1+\frac{2}{3}x^2+\phi(x))}\\
&=\frac{-\frac23-\phi(x)}{1+\frac23 x^2+x^2\phi(x)}\,,
\end{aligned}\]
qui donne
\[
\lim_{x\to 0}\frac{x^2-\tan(x)^2}{x^2\tan(x)^2}=-\frac23\,.
\]
Ensuite, par le changement de variable \(x=t-\frac{\pi}{2}\),
\[\begin{aligned}
\lim_{t\to \frac{\pi}{2}}
\Bigl(
\tan(t)^2-
\frac{1}{(t-\tfrac{\pi}{2})^2}
\Bigr)
&=
\lim_{x\to 0}
\Bigl(
\tan(x+\tfrac{\pi}{2})^2-
\frac{1}{x^2}
\Bigr)\\
&=
\lim_{x\to 0}
\Bigl(
\frac{1}{\tan(x)^2}-
\frac{1}{x^2}
\Bigr)\\
&=\lim_{x\to 0}\frac{x^2-\tan(x)^2}{x^2\tan(x)^2}=-\frac23\,.
\end{aligned}\]