Exercice 12-03
  1. En utilisant un développement limité pour \(\log(1+x)\), montrer que si \((a_n)\) est telle que \(a_n\to L\), alors \[ \Bigl( 1+\frac{a_n}{n} \Bigr)^n \to e^L \]
  2. Utiliser ce résultat pour calculer les limites suivantes:
    1. \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(1+\tan(\tfrac{\sqrt{2}}{n})\right)^{5n}\)
    2. \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{n+1}+(n+1)^n}{n^{n+1}}\right)^n\)
    3. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{\log(n+1)}{\log(n)}\Bigr)^n\)
Cet exercice a pour but de montrer comment utiliser des développements limités pour résoudre quelques indéterminations du type ''\(1^\infty\)''.

On écrira \[ \Bigl( 1+\frac{a_n}{n} \Bigr)^n =\exp \Bigl( n\log\left(1+\frac{a_n}{n}\right) \Bigr) \] Puisque \(a_n\to L\), on a que \(\frac{a_n}{n}\to 0\), ce qui implique \(\log\left(1+\frac{a_n}{n}\right)\to 0\). Un développement limité permet de traiter précisément la petitesse de \(\log\left(1+\frac{a_n}{n}\right)\).

On commence par exponentier: \[ \left(1+\frac{a_n}{n}\right)^n=\exp\left(n\log(1+\frac{a_n}{n})\right)\,. \] Or puisque \(a_n\) converge, on a \(\frac{a_n}{n}\to 0\), on a donc dans l'exponentielle une indétermination du type ''\(\infty\cdot 0\)''. Un développement limité va permettre d'écrire explicitement la petitesse de \(\log(1+\frac{a_n}{n})\). En utilisant le \(DL(1)\) autour de \(x=0\), \[\log(1+x)=x+x\varepsilon(x)\,,\] où \(\varepsilon(x)\to 0\) lorsque \(x\to 0\), on peut écrire \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} n\log\left(1+\tfrac{a_n}{n}\right) &= \lim_{n\to\infty} n\left(\tfrac{a_n}{n}+\tfrac{a_n}{n}\varepsilon(\tfrac{a_n}{n})\right)\\ &= \lim_{n\to\infty} \bigl(a_n+a_n\varepsilon(\tfrac{a_n}{n})\bigr) =L\,. \end{aligned}\] Remarquons que si on impose que \(a_n\neq 0\) pour tout \(n\) suffisamment grand, on peut se passer de développement limité, en écrivant \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} n\log\left(1+\tfrac{a_n}{n}\right) &= \lim_{n\to\infty} \frac{\log\left(1+\tfrac{a_n}{n}\right)}{\frac{a_n}{n}}a_n\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{\log\left(1+x_n\right)}{x_n}\lim_{n\to\infty}a_n=L\,. \end{aligned}\] Passons aux calculs de limites, en utilisant le résultat que l'on vient de démontrer.
  1. Dans ce cas, la suite est de la forme \(((1+\frac{a_n}{n})^n)^5\), avec \[ a_n=n\tan(\tfrac{\sqrt{2}}{n}) =\frac{\sin(\frac{\sqrt{2}}{n})}{\frac{\sqrt{2}}{n}}\frac{1}{\cos(\frac{\sqrt{2}}{n})} \sqrt{2}\to \sqrt{2}\,. \] Donc toute la suite tend vers \((e^{\sqrt{2}})^5=e^{5\sqrt{2}}\).
  2. Remarquons que \[ \left(\frac{n^{n+1}+(n+1)^n}{n^{n+1}}\right)^n =\left(1+\frac{(1+\frac{1}{n})^n}{n}\right)^n= \left(1+\frac{e_n}{n}\right)^n\,, \] où \(e_n=(1+\frac{1}{n})^n\). Puisque \(e_n\to e\), on en déduit que \[\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n^{n+1}+(n+1)^n}{n^{n+1}}\right)^n =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{e_n}{n}\right)^n=e^e\,. \]
  3. Dans ce cas, la suite est de la forme \((1+\frac{a_n}{n})^n\), avec \[\begin{aligned} a_n &=n\left(\frac{\log(n+1)}{\log(n)}-1\right)\\ &=n\left(\frac{\log(n+1)-\log(n)}{\log(n)}\right)\\ &=n\left(\frac{\log(n)+\log(1+\frac1n)-\log(n)}{\log(n)}\right)\\ &=n\left(\frac{\log(1+\frac1n)}{\log(n)}\right)\\ &=\frac{\log(1+\frac1n)}{\frac{1}{n}}\frac{1}{\log(n)}\to 1\cdot 0=0\,. \end{aligned}\] Donc toute la suite tend vers \(e^0=1\).