La version de la formule de Taylor donnée ici, pour un développement limité d'ordre \(3\) autour de \(x_0=0\), \[ f(x)= f(x_0)+ f'(x_0)(x-x_0) +\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 +R(x)\,,\\ \phantom{2} \] a l'avantage de donner une forme assez explicite pour le reste \(R(x)\), qui fait intervenir la quatrième dérivée de \(f\): \[ R(x)=\frac{f^{(4)}(u)}{4!}x^4\,. \] Ici, \(u\) est un nombre en général inconnu, situé entre \(0\) et \(x\).

Lorsque c'est possible, on pourra utiliser des développements classiques vus en cours.

1. Ici, \(f(x)=3-2x+x^2-x^3+\frac{x^5}{4}\) est déjà un polynôme. Donc il fournit déjà la partie principale de son \(DL(5)\) autour de zéro, avec reste nul. Pour obtenir le \(DL(3)\), il suffit de récrire: \[\begin{aligned} f(x) &=3-2x+x^2-x^3+\frac{x^5}{4}\\ &=3-2x+x^2-x^3+x^3\underbrace{\frac{x^2}{4}}_{=:\varepsilon(x)} \end{aligned}\] Puisque \(\lim_{x\to 0}\varepsilon(x)=0\), on a donc bien le \(DL(3)\) de \(f\): \[ f(x)=3-2x+x^2-x^3+R(x)\,, \] avec \(R(x)=x^3\varepsilon(x)=\frac{x^5}{4}\).

   Remarque: Bien sûr, si on le veut vraiment, on peut passer par la formule de Taylor! (On trouverait évidemment le même résultat.) Mais c'est inutile.

2. On considère \(f(x)=\sin(3x)\) dans un voisinage de \(x_0=0\). Puisque \[\begin{aligned} f'(x)&=3 \cos(3x)\\ f^{(2)}(x)&=-9 \sin(3x)\\ f^{(3)}(x)&=-27\cos(3x)\\ f^{(4)}(x)&=81 \sin(3x)\,, \end{aligned}\] on a que \[ f(0)=0, \quad f'(0)=3, \quad f^{(2)}(0)=0, \quad f^{(3)}(0)=-27\,. \] Donc le développement limité de \(f\) d'ordre \(3\) autour de \(0\) est \[\begin{aligned} f(x) &=0+ 3x +0\cdot x^2- \frac{27}{3!}x^3 +R(x)\\ &=3x-\frac{27}{3!}x^3+R(x) \\ &=3x-\frac{9}{2}x^3+R(x)\,, \end{aligned}\] avec \[ R(x)=\frac{81\sin(3u)}{4!}x^4=\frac{27\sin(3u)}{8}x^4,, \] pour un certain \(u\) entre \(0\) et \(x\). (Remarquons que \(u\) dépend de \(x_0\) et de \(x\).)

   Remarque: On aurait aussi pu prendre le \(DL(3)\) de \(\sin(x)\), et remplacer \(x\) par \(3x\).

3. On considère \(f(x)=\log(2+x)\) sur \(]-2,2[\), et on calcule \[\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{2+x}\\ f''(x)&=-\frac{1}{(2+x)^2}\\ f^{(3)}(x)&= \frac{2}{(2+x)^3}\\ f^{(4)}(x)&=-\frac{6}{(2+x)^4}\,, \end{aligned}\] et donc \[ f(0)=\log (2), \quad f'(0)=\frac{1}{2}, \quad f^{(2)}(0)=-\frac{1}{4}, \quad f^{(3)}(0)=\frac{1}{4}\,. \] Ainsi, le développement limité de \(f\) d'ordre \(3\) autour de \(0\) est \[ f(x) = \log(2+x) = \log(2) + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2+ \frac{1}{24}x^3 +R(x) \] avec \[ R(x)=-\frac{6}{4!(2+u)^4}x^4=-\frac{1}{4(2+u)^4}x^4\,, \] pour un certain \(u\) entre \(0\) et \(x\).

   Remarque: On aurait obtenu la même chose en commençant par écrire \[ f(x) =\log\left(2\left(1+\frac{x}{2}\right)\right) =\log(2)+\log\left(1+\frac{x}{2}\right)\,, \] puis en utilisant le développement limité connu de \(\log(1+x)\) (avec \(x\) remplacé par \(x/2\)).

4. Remarquons que pour tout \(x\in [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\), on a \(\cos(x)\geqslant 0\), et donc \(|\cos(x)|=\cos(x)\). On peut donc utiliser le développement limite d'ordre \(3\) du cosinus autour de \(x_0=0\): \[ f(x)=|\cos(x)|=\cos(x)=1-\frac{1}{2!}x^2+R(x)\,. \] Ici, le reste est de la forme \[ R(x)=\frac{\cos(u)}{4!}x^4\,, \] pour un certain \(u\) entre \(0\) et \(x\).