Analyse 1 MATH-101(c)

La version de la formule de Taylor donnée ici, pour un développement limité d'ordre

3

autour de

x_0=0

f(x)= f(x_0)+ f'(x_0)(x-x_0) +\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 +R(x)\,,\\ \phantom{2}

a l'avantage de donner une forme assez explicite pour le reste

R(x)

, qui fait intervenir la quatrième dérivée de

f

R(x)=\frac{f^{(4)}(u)}{4!}x^4\,.

Ici,

u

est un nombre en général inconnu, situé entre

0

x

.

Lorsque c'est possible, on pourra utiliser des développements classiques vus en cours.

Ici, $f(x)=3-2x+x^2-x^3+\frac{x^5}{4}$ est déjà un polynôme. Donc il fournit déjà la partie principale de son $DL(5)$ autour de zéro, avec reste nul. Pour obtenir le $DL(3)$ , il suffit de récrire: $\begin{aligned} f(x) &=3-2x+x^2-x^3+\frac{x^5}{4}\\ &=3-2x+x^2-x^3+x^3\underbrace{\frac{x^2}{4}}_{=:\varepsilon(x)} \end{aligned}$ Puisque $\lim_{x\to 0}\varepsilon(x)=0$ , on a donc bien le $DL(3)$ de $f$ : $f(x)=3-2x+x^2-x^3+R(x)\,,$ avec $R(x)=x^3\varepsilon(x)=\frac{x^5}{4}$ .
Remarque: Bien sûr, si on le veut vraiment, on peut passer par la formule de Taylor! (On trouverait évidemment le même résultat.) Mais c'est inutile.
On considère $f(x)=\sin(3x)$ dans un voisinage de $x_0=0$ . Puisque $\begin{aligned} f'(x)&=3 \cos(3x)\\ f^{(2)}(x)&=-9 \sin(3x)\\ f^{(3)}(x)&=-27\cos(3x)\\ f^{(4)}(x)&=81 \sin(3x)\,, \end{aligned}$ on a que $f(0)=0, \quad f'(0)=3, \quad f^{(2)}(0)=0, \quad f^{(3)}(0)=-27\,.$ Donc le développement limité de $f$ d'ordre $3$ autour de $0$ est $\begin{aligned} f(x) &=0+ 3x +0\cdot x^2- \frac{27}{3!}x^3 +R(x)\\ &=3x-\frac{27}{3!}x^3+R(x) \\ &=3x-\frac{9}{2}x^3+R(x)\,, \end{aligned}$ avec $R(x)=\frac{81\sin(3u)}{4!}x^4=\frac{27\sin(3u)}{8}x^4,,$ pour un certain $u$ entre $0$ et $x$ . (Remarquons que $u$ dépend de $x_0$ et de $x$ .)
Remarque: On aurait aussi pu prendre le $DL(3)$ de $\sin(x)$ , et remplacer $x$ par $3x$ .
On considère $f(x)=\log(2+x)$ sur $]-2,2[$ , et on calcule $\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{2+x}\\ f''(x)&=-\frac{1}{(2+x)^2}\\ f^{(3)}(x)&= \frac{2}{(2+x)^3}\\ f^{(4)}(x)&=-\frac{6}{(2+x)^4}\,, \end{aligned}$ et donc $f(0)=\log (2), \quad f'(0)=\frac{1}{2}, \quad f^{(2)}(0)=-\frac{1}{4}, \quad f^{(3)}(0)=\frac{1}{4}\,.$ Ainsi, le développement limité de $f$ d'ordre $3$ autour de $0$ est $f(x) = \log(2+x) = \log(2) + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2+ \frac{1}{24}x^3 +R(x)$ avec $R(x)=-\frac{6}{4!(2+u)^4}x^4=-\frac{1}{4(2+u)^4}x^4\,,$ pour un certain $u$ entre $0$ et $x$ .
Remarque: On aurait obtenu la même chose en commençant par écrire $f(x) =\log\left(2\left(1+\frac{x}{2}\right)\right) =\log(2)+\log\left(1+\frac{x}{2}\right)\,,$ puis en utilisant le développement limité connu de $\log(1+x)$ (avec $x$ remplacé par $x/2$ ).
Remarquons que pour tout $x\in [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$ , on a $\cos(x)\geqslant 0$ , et donc $|\cos(x)|=\cos(x)$ . On peut donc utiliser le développement limite d'ordre $3$ du cosinus autour de $x_0=0$ : $f(x)=|\cos(x)|=\cos(x)=1-\frac{1}{2!}x^2+R(x)\,.$ Ici, le reste est de la forme $R(x)=\frac{\cos(u)}{4!}x^4\,,$ pour un certain $u$ entre $0$ et $x$ .

Exercice 12-02