Exercice 13-04
En s'aidant de séries de MacLaurin connues, donner la valeur de la somme de chacune des séries ci-dessous.
  1. \(\displaystyle \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}\cdots\)
  2. \(\displaystyle 1-\frac{\pi^2}{2!}+\frac{\pi^4}{4!}-\frac{\pi^6}{6!} +\frac{\pi^8}{8!}\cdots\)
  3. \(\displaystyle \frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{7!}+\frac{1}{9!}\cdots\)
  4. \(\displaystyle \frac{1}{2^3}-\frac{1}{3\cdot 2^3}+\frac{1}{4\cdot 2^4}-\frac{1}{5\cdot 2^5}\cdots\)
Au cours on est plutôt parti d'une fonction, et on s'est demandé quand cette fonction pouvait être représentée à l'aide d'une série de Taylor.

Ici, on regarde une série, et pour calculer sa somme on se demande si elle ne peut pas être vue comme le développement de Taylor d'une certaine fonction \(f\), évalué en un certain point \(x_0\). Si c'est le cas, la somme de la série est juste égale à \(f(x_0)\).

Par exemple, la somme \[ 1-\frac13+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\cdots \] est manifestement \[ 1+x+x^2+x^3+\cdots\Big|_{x=-1/3} \] Comme \(1+x+x^2+x^3+\cdots\) est la série de MacLaurin de \(f(x)=\frac{1}{1-x}\), et que cette dernière converge pour tout \(|x|\lt 1\), \[ 1+x+x^2+x^3+\cdots\Big|_{x=-1/3}=f(-1/3)=\frac{1}{1-(-1/3)}=\frac34\,. \] Donc \[ 1-\frac13+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\cdots=\frac34\,. \]

On pourra relire le cours pour revoir les principales séries de Taylor

  1. On a \[\begin{aligned} \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}\cdots &=\sum_{k\geqslant 2}\frac{(-1)^k}{k!}\\ &=\sum_{k\geqslant 0}\frac{(-1)^k}{k!} =e^{-1} \end{aligned}\]
  2. \[\begin{aligned} 1-\frac{\pi^2}{2!}+\frac{\pi^4}{4!}-\frac{\pi^6}{6!} +\frac{\pi^8}{8!}\cdots =\cos(\pi)=-1\,. \end{aligned}\]
  3. \[\begin{aligned} \frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{7!}+\frac{1}{9!}\cdots &= \Bigl( \sum_{k\geqslant 0}\frac{1}{(2k+1)!} \Bigr)-1\\ &=\sinh(1)-1\\ &=\frac{e-e^{-1}}{2}-1\,. \end{aligned}\]
  4. \[\begin{aligned} \frac{1}{2^3}-\frac{1}{3\cdot 2^3}+\frac{1}{4\cdot 2^4}-\frac{1}{5\cdot 2^5}\cdots &=-\sum_{k\geqslant 2}\frac{(-1)^{k+1}}{k}(1/2)^k\\ &=-\Bigl(\sum_{k\geqslant 1}\frac{(-1)^{k+1}}{k}(1/2)^k\Bigr)+\frac12\\ &=-\log(1+\tfrac12)+\frac12=-\log(\tfrac32)+\frac12\,. \end{aligned}\]