Exercice 12-08
Soient \(b,c\in\mathbb{R}\) et soit \(f\colon ]-1,1[\:\to\mathbb{R}\) telle que \[ f(x)=bx+cx^2+x^4\varepsilon(x)\qquad \forall x\in ]-1,1[\,, \] où \(\lim_{x\to 0}\varepsilon(x)=0\). Vrai ou faux?
  1. Alors \(f\) est continue en \(0\).
  2. Si \(f\in C^2(]-1,1[)\), alors \(f''(0)=c\).
  3. On a \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=b\).
  4. \(f(x)^2=b^2x^2+c^2x^4+x^6\varepsilon(x)\).
  1. VRAI. Clairement \(f(0)=0\). Et comme \(\lim\limits_{x\to 0}\varepsilon(x)=0\) (donc fini), on a \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0\) si bien que \(f\) est continue en \(0\).
  2. FAUX. Si \(f\) est de classe \(C^2(]-1,1[)\), le coefficient \(a_2\) du développement limité de \(f\) autour de \(0\) est \(a_2=\frac{f''(0)}{2!}\) par la formule de Taylor. Comme \(a_2=c\) ici, il suit que \(f''(0)=2c\).
  3. VRAI. Par l'expression pour \(f\), \[ \frac{f(x)}{x}=b+cx+x^3\varepsilon(x)\,. \] On conclut avec \(\lim_{x\to 0}\varepsilon(x)=0\).
  4. FAUX. On calcule \[\begin{aligned} f(x)^2&=\Big(bx+cx^2+x^4\varepsilon(x)\Big)^2 \\ &= b^2x^2 + 2bcx^3 + c^2x^4 + 2bx^5\varepsilon(x) + 2cx^6\varepsilon(x) \\ &= b^2x^2 + 2bcx^3 + c^2x^4 + x^5\varepsilon(x) \end{aligned}\] parce que \(\lim\limits_{x\to 0}2(b+cx)\varepsilon(x)=0\). On voit que cette expression de \(f(x)^2\) ne correspond pas à celle de l'énoncé rien qu'à cause du terme en \(x^3\). Noter qu'on pourrait aussi choisir un contre-exemple explicite, par exemple \(f(x)=bx+cx^2+x^5\).