Soit \(f\colon \left]-1,1\right[\setminus\{0\} \to \mathbb{R}\) définie par \[ f(x)= \frac{1}{\lfloor \frac1x \rfloor}\,. \]

1. Montrer qu'il est possible de prolonger \(f\) par continuité, donner sa prolongée \(\widetilde{f}:]-1,1[\to\mathbb{R}\).
2. Montrer que \(\widetilde{f}\) est dérivable en \(x_0=0\).