- On étudie la limite \[ \lim_{x\to 0}f(x)\,. \] Par définition de la valeur entière, \[ \frac1x -1 \leqslant \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor\leqslant \frac{1}{x} \qquad \forall x\in\mathbb{R}^*\,, \] ce qui implique \[ x \leqslant \frac{1}{\lfloor \frac{1}{x} \rfloor} \leqslant \frac{x}{1-x} \qquad \forall x\in]-1,1[\setminus\{0\}\,. \] Puisque \(\lim_{x\to 0}\frac{x}{1-x}=\lim_{x\to 0}x=0\), le théorème des deux gendarmes implique \[ \lim_{x\to 0}f(x)=0\,, \] donc \(\widetilde{f}:]-1,1[\to \mathbb{R}\), définie par \[ \widetilde{f}(x)= \begin{cases} \frac{1}{\lfloor\frac1x\rfloor}&\text{ si }x\neq 0\,,\\ 0&\text{ si }x=0\,, \end{cases} \] est continue en \(x_0=0\).
- Pour ensuite voir que \(\widetilde{f}\) est dérivable en \(x_0=0\), on étudie \[ \lim_{x\to 0}\frac{\widetilde{f}(x)-\widetilde{f}(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{x\lfloor \frac1x \rfloor} \] Or si \(x\gt 0\), on peut réutiliser l'inégalité ci-dessus, pour écrire \[ 1-x\leqslant x\left\lfloor \frac1x \right\rfloor\leqslant 1 \qquad \forall x\in]0,1[\,, \] qui garantit \[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x\lfloor \frac1x \rfloor}=1\,. \] De même, si \(x\lt 0\), on peut réutiliser l'inégalité ci-dessus, pour écrire \[ 1-x\geqslant x\left\lfloor \frac1x \right\rfloor\geqslant 1 \qquad \forall x\in]-1,0[\,, \] qui garantit \[ \lim_{x\to 0^-} \frac{1}{x\lfloor \frac1x \rfloor}=1\,. \] Ainsi, \(\widetilde{f}\) est dérivable en \(x=0\), et \[ \widetilde{f}'(0)= \lim_{x\to 0}\frac{\widetilde{f}(x)-\widetilde{f}(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{x\lfloor \frac1x \rfloor} =1\,. \]
