Exercice 10-09
Soit, pour tout entier \(n\geqslant 1\), la fonction \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par
\[
f_n(x):=e^{-x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{x^2}\qquad (x\in \mathbb{R})
\]
(Notation: \(\frac{d^n }{dx^n}f=f^{(n)}\).)
Montrer, par récurrence sur \(n\), que \(f_n(x)\) est un polynôme en \(x\).
Pour \(n=1\),
\[
f_1(x):=e^{-x^2}\frac{d}{dx}e^{x^2}=e^{-x^2}\bigl(2xe^{x^2}\bigr)
=2x\,,
\]
qui est bien un polynôme (de degré \(1\)).
Supposons que \(f_n(x)\) est un polynôme, et donc dérivable. Alors
\[\begin{aligned}
f_{n+1}(x)
&= e^{-x^2}\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}e^{x^2}\\
&= e^{-x^2}\frac{d}{dx}\Bigl\{ \frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{x^2}\Bigr\}\\
&= e^{-x^2}\frac{d}{dx} \bigl\{e^{x^2}f_n(x)\Bigr\}\\
&= e^{-x^2}\bigl\{2x e^{x^2}f_n(x)+e^{x^2}f_n'(x)\bigr\}\\
&= 2x f_n(x)+f_n'(x)\,.
\end{aligned}\]
Comme \(f_n(x)\) est un polynôme, \(2xf_n(x)\) et \(f_n'(x)\) sont aussi des
polynômes. Donc \(f_{n+1}(x)\) est un polynôme.