Montrer que si une fonction \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) est continue et dérivable
sur \(]a,b[\), non-constante, et satisfait
\(f(a)=f(b)\), alors il existe au moins un
point \(c_+\in ]a,b[\) où sa dérivée est strictement positive,
et un point \(c_-\in ]a,b[\) où sa dérivée est strictement négative.
Si \(f(a)=f(b)=H\) et si \(f\) n'est pas constante, alors il existe au moins
un point \(x_0\in ]a,b[\) où \(f(x_0)\neq H\).
Sans perte de généralité,
supposons que \(f(x_0)>H\).
En appliquant le TAF sur \([a,x_0]\), on déduit
qu'il existe \(c_-\in ]a,x_0[\) tel que
\[
f'(c_-)
=\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}
=\frac{f(x_0)-H}{x_0-a}>0\,.
\]
En appliquant le TAF sur \([x_0,b]\), on déduit
qu'il existe \(c_+\in ]x_0,b[\) tel que
\[
f'(c_+)
=\frac{f(b)-f(x_0)}{b-x_0}
=\frac{H-f(x_0)}{b-x_0}<0\,.
\]
