Posons $$\begin{aligned} f(x)&=e^x-1-x-ax^2\,,\\ g(x)&=e^x-1-x-bx^2\,. \end{aligned}$$ Alors $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}$ est indéterminée, de la forme ''$\frac00$''. Ensuite, $$f'(x)=e^x-1-2ax\,,\qquad g'(x)=e^x-1-2bx\,,$$ et donc $\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ est aussi de la forme ''$\frac00$''. Finalement, $f''(x)=e^x-2a$, $g''(x)=e^x-2b$, et la limite de leur quotient peut être calculée en fonction des cas: $$\lim_{x\to 0}\frac{f''(x)}{g''(x)} = \begin{cases} \frac{1-2a}{1-2b} & \text{ si }b\neq \frac12\,,\\ 1&\text{ si }a=b=\frac12\,,\\ \text{n'existe pas}&\text{ si }a\neq \frac12\text{ et }b=\frac12\,. \end{cases}$$ Par la règle de BH (utilisée deux fois), on conclut que $$\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)} &= \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\\ &= \lim_{x\to 0}\frac{f''(x)}{g''(x)}\\ &= \begin{cases} \frac{1-2a}{1-2b} & \text{ si }b\neq \frac12\,,\\ 1&\text{ si }a=b=\frac12\,,\\ \text{n'existe pas}&\text{ si }a\neq \frac12\text{ et }b=\frac12\,. \end{cases} \end{aligned}$$