Exercice 10-14
(Exercice à rendre)
- Énoncer le Théorème des valeurs intermédiaires.
-
Soit \(f\colon \left]0, \infty\right[\to\mathbb{R}\), continue en tout point
\(x_0\gt 0\), et telle que
\[
\lim_{x\to 0^+}f(x)=-1\,,\qquad
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+1\,.
\]
Utiliser le Théorème des valeurs intermédiaires pour
montrer que pour tout \(h\in \left]-1,+1\right[\), il existe \(c\gt 0\) tel que
\(f(c)=h\).
- Théorème des valeurs intermédiaires:
Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) une fonction continue (c'est-à-dire continue en
tout point \(x_0\in ]a,b[\), continue à droite en \(a\) et à gauche en \(b\)),
telle que \(f(a)\lt f(b)\). Alors pour tout \(h\in]f(a),f(b)[\), il existe
\(c\in ]a,b[\) tel que \(f(c)=h\).
(Si \(f(a)\gt f(b)\), l'énoncé est le même, en changeant
''\(h\in]f(a),f(b)[\)'' en ''\(h\in]f(b),f(a)[\)''.)
- Soit \(h\in \left]-1,+1\right[\).
- Puisque \(-1\lt h\), et comme \(\lim_{x\to 0^+}f(x)=-1\),
il existe \(x_-\gt 0\) tel que
\[ f(x_-)\lt h
\]
- Puisque \(h\lt +1\), et comme \(\lim_{x\to +\infty}f(x)=+1\),
il existe \(x_+\gt 0\) tel que
\[ f(x_+)\gt h
\]
On peut bien sûr supposer que \(x_-\lt x_+\).
Considérons \(f:[x_-,x_+]\to \mathbb{R}\).
Puisque \(f\) est continue sur \(]0,+\infty[\), elle est en particulier
continue en tout point de
\(]x_-,x_+[\), continue à droite en \(x_-\), continue à gauche en \(x_+\).
Puisque \(f(x_-)\lt h\lt f(x_+)\), on peut appliquer le théorème des
valeurs intermédiaires: il existe \(c\in ]x_-,x_+[\) tel que \(f(c)=h\).
