Exercice 08-07
Sans faire de calculs, donner les minimums et maximums, lorsqu'ils existent, des fonctions f:D→Rf:D\to \mathbb{R} ci-dessous.
  1. D=[−1,1]D=[-1,1], f(x)=−∣x∣f(x)=-|x|
  2. D=]−π/2,π/4]D=]-\pi/2,\pi/4], f(x)=sin⁡(x)f(x)=\sin(x)
  3. D=[−1,3]D=[-1,3], f(x)={x2−1⩽x⩽1 ,2−x1<x⩽3f(x)= \begin{cases} x^2&-1\leqslant x\leqslant 1\,, \\ 2-x & 1< x\leqslant 3 \end{cases}
  4. D=RD=\mathbb{R}, f(x)={sin⁡(1/x)x≠00x=0f(x)= \begin{cases} \sin(1/x)&x\neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}
  5. D=RD=\mathbb{R}, f(x)=arctan⁡(x)f(x)=\arctan(x)
Si un min/max existe, dire en quel(s) point(s) il est atteint.
On pourra sans autre faire un croquis pour étudier l'existence de points où un max/min est atteint.
  1. Maximum atteint en x∗=0x^*=0, minimum atteint en x∗=±1x_*=\pm 1.
  2. Maximum atteint en x∗=π/4x^*=\pi/4, pas de minimum.
  3. Maximum atteint en x∗=±1x^*=\pm 1, minimum en x∗=3x_*=3.
  4. Puisque sin⁡(y)\sin(y) est maximal (et vaut +1+1) lorsque y=π2+2kπy=\frac{\pi}{2}+2k\pi, k∈Zk\in \mathbb{Z}, f(x)f(x) sera maximale lorsque 1x=π2+2kπ\frac1x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, c'est-à-dire lorsque xx est un point du type xk∗=1π2+2kπ ,k∈Z . x^*_k=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}\,,\quad k\in \mathbb{Z}\,. (En particulier, ff atteint son maximum en une infinité de points.) De même, ff atteint son minimum (de valeur −1-1) en tous les points de la forme x∗,k=13π2+2kπ ,k∈Z . x_{*,k}=\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}\,,\quad k\in \mathbb{Z}\,.
    aa
    bb
    xx
    f(x)f(x)
  5. Pas de minimum, pas de maximum.
    xx
    arctan⁡(x)\arctan(x)
    −π2-\frac{\pi}{2}
    +π2+\frac{\pi}{2}