Exercice 09-09
Donner un exemple de deux fonctions \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), et
d'un point \(x_0\in \mathbb{R}\) en lequel \(g\) est continue, telles que
\[
\lim_{x\to x_0}f(g(x))
\]
existe, mais n'est pas égal à \(f(g(x_0))\).
Soit \(L_0=g(x_0)\).
On cherche une fonction \(f\) discontinue en \(L_0\), dans le sens où
\(\lim_{z\to L_0}f(z)\) existe mais est
différente de \(f(L_0)\).
On peut par exemple prendre \(g(x)=x^2\), et
\[
f(x)=
\begin{cases}
x&\text{ si } x\neq 4\,,\\
0&\text{ si } x=4\,.
\end{cases}
\]
Dans ce cas, on a
\[
\lim_{x\to 2}f(g(x))=\lim_{x\to 2} f(x^2)=\lim_{x\to 2}x^2=4\,,
\]
alors que
\[ f(g(2))=f(4)=0\,,
\]
et donc
\[
\lim_{x\to 2}f(g(x)) \neq f(g(2))\,.
\]