Exercice 05-08
Calculer les parties réelles et imaginaires des nombres complexes suivants.
  1. \(\displaystyle(2-3\mathsf{i} )(3+2\mathsf{i} )\)
  2. \(\displaystyle\frac{2-3\mathsf{i} }{4-5\mathsf{i} }\)
  3. \(\displaystyle(\frac{1}{\mathsf{i} })^{4567}\)
  4. \(\displaystyle(1+\mathsf{i} \sqrt{3})^{10}\)
  5. \(\displaystyle\frac{1}{1+\mathsf{i} }+\frac{1}{1+2\mathsf{i} }+\frac{1}{1+3\mathsf{i} }\)
  6. \(\displaystyle\frac{2-3\mathsf{i} }{2+\mathsf{i} }+\frac{1-\mathsf{i} }{1+3\mathsf{i} }\)
  7. \(\displaystyle\frac{5+5\mathsf{i} }{3-4\mathsf{i} }+\frac{20}{4+3\mathsf{i} }\)
  8. \(\displaystyle\frac{3\mathsf{i}^{30}-\mathsf{i}^{19}}{-1+2\mathsf{i}}\)
  9. \(\displaystyle(\frac{10-15\mathsf{i}}{2+\mathsf{i}})(\frac{1+\mathsf{i}}{1-3\mathsf{i}})\)
Trouver les parties réelles et imaginaires de chacune de ces expressions requiert l'utilisation d'opérations élémentaires sur les complexes. Ces opérations comprennent, en plus des opérations d'addition et de multiplication, l'utilisation du conjugué complexe ainsi que les propriétés de la représentation polaire, notamment la Formule de Moivre.
Les résultats ci-après sont écrits sous la forme \(z=a+\mathsf{i} b\), où \(a\) est la partie réelle, et \(b\) est la partie imaginaire de \(z\).
  1. \(z=(2-3\mathsf{i})(3+2\mathsf{i})=12-5\mathsf{i}\).
  2. \(\displaystyle z =\frac{2-3\mathsf{i}}{4-5\mathsf{i}} =\frac{2-3\mathsf{i}}{4-5\mathsf{i}}\frac{4+5\mathsf{i}}{4+5\mathsf{i}} =\frac{23}{41}-\mathsf{i}\frac{2}{41}\)
  3. \(z=\bigl(\tfrac{1}{\mathsf{i}}\bigr)^{4567} =e^{\mathsf{i}\frac{3\pi}{2}4567}=e^{\mathsf{i}\frac{13701\pi}{2}} =e^{\mathsf{i}\frac{\pi}{2}}=\mathsf{i}=0+\mathsf{i}\).
  4. On a \(e^{\mathsf{i}\frac{\pi}{3}} = \cos\bigl(\frac{\pi}{3}\bigr) +\mathsf{i}\sin\bigl(\frac{\pi}{3}\bigr) =\frac{1}{2}+\mathsf{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\), d'où \[\begin{aligned} z = (1+\sqrt{3}\mathsf{i})^{10} &=2^{10}\bigl(\tfrac{1}{2}+\mathsf{i}\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)^{10}\\ &=2^{10}\bigl(e^{\mathsf{i}\tfrac{\pi}{3}}\bigr)^{10}\\ &= 2^{10} e^{\mathsf{i}\tfrac{10\pi}{3}} = 2^{10}e^{\mathsf{i}\tfrac{4\pi}{3}} =-2^{10}e^{\mathsf{i}\tfrac{\pi}{3}}\\ &=-2^{10}\bigl(\tfrac{1}{2}+\mathsf{i}\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr), \end{aligned}\] et ainsi \(\mathrm{Re}(z)=-2^{9}=-512\), \(\mathrm{Im}(z)=-512\sqrt{3}\,\).
  5. \(z=\frac{1}{1+\mathsf{i}}+\frac{1}{1+2\mathsf{i}}+\frac{1}{1+3\mathsf{i}}= \frac{1-\mathsf{i}}{2}+\frac{1-2\mathsf{i}}{5}+\frac{1-3\mathsf{i}}{10} = \frac{4}{5}-\mathsf{i}\,\frac{6}{5}\)
  6. \(z=\frac{2-3\mathsf{i}}{2+\mathsf{i}}+\frac{1-\mathsf{i}}{1+3\mathsf{i}}= \frac{(2-3\mathsf{i})(2-\mathsf{i})}{5}+\frac{(1-\mathsf{i})(1-3\mathsf{i})}{10}=0-2\mathsf{i}\)
  7. \(z=\frac{5+5\mathsf{i}}{3-4\mathsf{i}}+\frac{20}{4+3\mathsf{i}} =\frac{(5+5\mathsf{i})(3+4\mathsf{i})}{25}+\frac{20(4-3\mathsf{i})}{25}=3-\mathsf{i}\)
  8. \(z=\frac{3\mathsf{i}^{30}-\mathsf{i}^{19}}{-1+2\mathsf{i}} =\frac{3\mathsf{i}^{2}-\mathsf{i}^{3}}{-1+2\mathsf{i}}=\frac{-3+\mathsf{i}}{-1+2\mathsf{i}}=\frac{3-\mathsf{i}}{1-2\mathsf{i}}=\frac{(3-\mathsf{i})(1+2\mathsf{i})}{5}=1+\mathsf{i}\)
  9. \(z=\bigl(\frac{10-15\mathsf{i}}{2+\mathsf{i}}\bigr) \bigl(\frac{1+\mathsf{i}}{1-3\mathsf{i}}\bigr)=(1-8\mathsf{i})\bigl(-\frac{1}{5}+\mathsf{i}\,\frac{2}{5}\bigr)=3+2\mathsf{i}\)