Exercice 05-09
Trouver le module et un argument pour les nombres complexes suivants.
  1. 2+2i2+2\mathsf{i}
  2. 1+i3-1+\mathsf{i}\sqrt{3}
  3. 1+itan(3)-1+\mathsf{i}\tan(3)
  4. 8i212i111i\displaystyle\frac{8\mathsf{i}^{21}-2\mathsf{i}^{11}}{1-\mathsf{i}}
Rappelons que l'argument d'un nombre complexe n'est pas unique, donc il y a une infinité de réponses possibles dans chaque cas.
Les résultats ci-dessous sont écrits sous la forme z=reiθz=re^{\mathsf{i}\theta}, où r=zr=|z| est le module de zz, et Arg(z)=θ\mathrm{Arg }(z)=\theta un argument.
  1. z=2+2i=22(12+i12)=22eiπ4\begin{aligned} z=2+2\mathsf{i}&=2\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} +\mathsf{i}\frac{1}{\sqrt{2}})\\ &=2\sqrt{2}e^{\mathsf{i}\frac{\pi}{4}} \end{aligned}
  2. z=1+i3=2(12+i32)=2(cos(2π3)+isin(2π3))=2ei2π3\begin{aligned} z=-1+\mathsf{i}\sqrt{3} &=2(-\frac{1}{2}+\mathsf{i}\frac{\sqrt{3}}{2})\\ &=2(\cos(\frac{2\pi}{3})+\mathsf{i} \sin(\frac{2\pi}{3}))\\ &= 2e^{\mathsf{i}\frac{2\pi}{3}} \end{aligned}
  3. Pour commencer, calculons le module: z=(1)2+tan(3)2=1cos(3)2=1cos(3). |z|=\sqrt{(-1)^2+\tan(3)^2}=\sqrt{\frac{1}{\cos(3)^2}}=\frac{1}{|\cos(3)|}\,. Remarquons que cos(3)<0\cos(3)\lt 0 , et donc cos(3)=cos(3)|\cos(3)|=-\cos(3). Ainsi, en mettant ce module en évidence, z=1+itan(3)=1cos(3)(cos(3)isin(3))=1cos(3)(cos(3)+isin(3))=1cos(3)e3i.\begin{aligned} z&=-1+\mathsf{i} \tan(3)\\ &=\frac{1}{|\cos(3)|}(\cos(3)-\mathsf{i} \sin(3))\\ &=\frac{1}{|\cos(3)|}(\cos(-3)+\mathsf{i} \sin(-3))\\ &=\frac{1}{|\cos(3)|}e^{-3\mathsf{i}}\,. \end{aligned}
  4. z=8i212i111i=8i2i31i=8i+2i1i=10i11i=10i1+i2=52(12+i12)=52ei3π4\begin{aligned} z = \frac{8\mathsf{i}^{21}-2\mathsf{i}^{11}}{1-\mathsf{i}} &=\frac{8\mathsf{i}-2\mathsf{i}^{3}}{1-\mathsf{i}}\\ &=\frac{8\mathsf{i}+2\mathsf{i}}{1-\mathsf{i}}\\ &=10\mathsf{i}\frac{1}{1-\mathsf{i}}\\ &=10\mathsf{i}\frac{1+\mathsf{i}}{2}\\ &=5\sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}} +\mathsf{i}\frac{1}{\sqrt{2}})\\ &=5\sqrt{2}\,e^{\mathsf{i}\frac{3\pi}{4}} \end{aligned}