Exercice 06-06
Vrai ou faux?
  1. Le polynôme \(z^2+1\) divise \(z^6+3z^4+z^2-1\).
  2. Si \(z_1,\ldots,z_n\) sont les racines complexes du polynôme \[z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0\,,\] alors \(\prod_{j=1}^n z_j=(-1)^na_0\).
  3. Il existe un entier \(n\in \mathbb{N}^*\) tel que \((1+\mathsf{i}\sqrt{3})^n\) soit purement imaginaire.
  4. Il existe un entier \(n\in \mathbb{N}^*\) tel que \((1-\mathsf{i}\sqrt{3})^n\) soit réel.

Pour qu'un nombre soit purement imaginaire, il doit pouvoir être décrit à l'aide d'un argument de la forme \(\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\in \mathbb{Z}\).

Pour qu'un nombre complexe soit réel, il doit pouvoir être décrit à l'aide d'un argument de la forme \(\theta=k\pi\), \(k\in \mathbb{Z}\).

  1. VRAI. En effet, une division polynomiale directe de \(z^6+3z^4+z^2-1\) par \(z^2+1\) montre qu'il n'y a pas de reste et que \[z^6+3z^4+z^2-1=(z^2+1)(z^4+2z^2-1)\,.\] Une autre façon de penser: notons que \(z^2+1=(z-\mathsf{i})(z+\mathsf{i})\). Comme \(\mathsf{i}^6+3\mathsf{i}^4+\mathsf{i}^2-1=-1+3-1-1=0\), \(z-\mathsf{i}\) divise le polynôme donné. Puisque ce dernier est à coefficients réels, il suit que \(\bar{\mathsf{i}}=-\mathsf{i}\) en est aussi une racine et donc \(z+\mathsf{i}\) le divise aussi. Ainsi on conclut que \(z^2+1=(z-\mathsf{i})(z+\mathsf{i})\) divise \(z^6+3z^4+z^2-1\).
  2. VRAI. Comme \(z_1,\ldots,z_n\) sont racines du polynôme, on a \[ z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0=(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n). \] En comparant les termes de degré zéro des deux côtés de l'expression, on trouve la formule de l'énoncé.
  3. FAUX. Sous forme polaire, \[ (1+\mathsf{i}\sqrt{3})^n=2^n e^{\mathsf{i}\frac{n\pi}{3}}=2^n(\cos(n\tfrac{\pi}{3})+\mathsf{i}\sin(n\tfrac{\pi}{3})). \] Or peu importe la valeur de \(n\), l'argument \(n\frac{\pi}{3}\) n'est jamais de la forme \(\frac{\pi}{2}+k\pi\).
  4. VRAI. En utilisant de nouveau la forme polaire on obtient \[ (1-\mathsf{i}\sqrt{3})^n=2^n e^{-\mathsf{i}\frac{n\pi}{3}}=2^n(\cos(n\tfrac{\pi}{3})-\mathsf{i}\sin(n\tfrac{\pi}{3})). \] Ce nombre est réel si et seulement si \(\sin(n\frac{\pi}{3})=0\), c'est-à-dire \(n\frac{\pi}{3}=k\pi\) avec \(k\in \mathbb{Z}\). On a donc \(n=3k\) avec \(k\in\mathbb{Z}\). Ainsi on peut par exemple prendre \(n=3\).