Vidéo (David Strütt)

Le développement limité d'ordre \(2\) autour de \(x_0=0\) est donné par \[ \cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+x^2\varepsilon(x)\,, \] avec \(\lim_{x\to 0}\varepsilon(x)=0\). En l'utilisant pour \(x=t_n=\sqrt{\frac{2}{n}}\), \[ \Bigl(\cos\bigl(\sqrt{\tfrac{2}{n}}\,\bigr)\Bigr)^{n} =\cos(t_n)^n = \left(1-\frac{t_n^2}{2}+t_n^2\varepsilon(t_n)\right)^n = \left(1+\frac{a_n}{n}\right)^n\,, \] où \[ a_n=-n\frac{t_n^2}{2}+nt_n^2\varepsilon(t_n)\to -1 \] Donc \[ \lim_{n\to\infty}x_n= \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a_n}{n}\right)^n\to e^{-1} \] (On a vu en exercice que si \(a_n\to L\), alors \((1+\frac{a_n}{n})^n\to e^L\).)