Question 29
(Question ouverte)
  1. Montrer que la série \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{2^k(k-1)}{(k+1)!}\) converge.
  2. Montrer par récurrence que pour tout \(n\geqslant 1\), \[ \sum_{k=1}^n\frac{2^k(k-1)}{(k+1)!}=2-\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}. \]
  3. En déduire la valeur de la somme de \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{2^k(k-1)}{(k+1)!}\).