Soient \((a_n)_{n\geqslant 0}\), \((b_n)_{n\geqslant 0}\)
deux suites de nombres réels telles que les séries
\(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n\)
et \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty b_n\) convergent.
Alors la série
\(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n b_n\) converge.
Vidéo (David Strütt)
Considérons \(a_n=b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\). Alors \(\sum_{n\geqslant 0}a_n\)
(ainsi que
\(\sum_{n\geqslant 0}b_n\)) satisfait au critère de Leibniz, et donc elle converge.
Pourtant,
\[
\sum_{n\geqslant 0}a_nb_n
=\sum_{n\geqslant 0}a_n^2
=\sum_{n\geqslant 0}\frac{1}{n}=+\infty
\]
Donc l'affirmation est fausse.