Soit \(\alpha\in\mathbb{R}\).
La série numérique
\(\displaystyle
\sum_{n=1}^\infty \left( 1 + \frac{\alpha}{n} \right)^{n^2}
\)
converge si et seulement si
Soit \(a_n=\left( 1 + \frac{\alpha}{n} \right)^{n^2}\).
Remarquons que pour tout \(\alpha\in\mathbb{R}\), \(\frac{\alpha}{n}\to 0\)
lorsque \(n\to\infty\). Donc on a, pour tout \(n\) suffisamment grand,
\[
\sqrt[n]{|a_n|}=
\sqrt[n]{a_n}=
\left( 1 + \frac{\alpha}{n} \right)^{n}\,,
\]
et donc
\[
\sigma
=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}
=\lim_{n\to\infty}
\left( 1 + \frac{\alpha}{n} \right)^{n}=e^\alpha\,.
\]
On a donc \(\sigma\lt 1\) si et seulement si \(\alpha\lt 0\).
Remarquons encore que lorsque \(\alpha=0\), le terme général est constant:
\(a_n=1\), donc la série diverge.
Donc la série \(\sum_na_n\) converge si et seulement si \(\alpha\lt 0\).