Vidéo (David Strütt)

Soit \(a_n=\left( 1 + \frac{\alpha}{n} \right)^{n^2}\). Remarquons que pour tout \(\alpha\in\mathbb{R}\), \(\frac{\alpha}{n}\to 0\) lorsque \(n\to\infty\). Donc on a, pour tout \(n\) suffisamment grand, que \(1+\frac{\alpha}{n}\gt 0\), et donc \(|a_n|=a_n\), qui donne \[ \sqrt[n]{|a_n|}= \sqrt[n]{a_n}= \left( 1 + \frac{\alpha}{n} \right)^{n}\,, \] et donc \[ \sigma =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} =\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{\alpha}{n} \right)^{n}=e^\alpha\,. \] On a donc \(\sigma\lt 1\) si et seulement si \(\alpha\lt 0\). Remarquons encore que lorsque \(\alpha=0\), le terme général est constant: \(a_n=1\), donc la série diverge.

Donc la série \(\sum_na_n\) converge si et seulement si \(\alpha\lt 0\).