Question 05
Soit α∈R\alpha\in\mathbb{R}. La série numérique ∑n=1∞(1+αn)n2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left( 1 + \frac{\alpha}{n} \right)^{n^2} converge si et seulement si
  • −1<α<0-1\lt\alpha\lt 0
  • α<0\alpha\lt 0
  • α<−1\alpha\lt -1
  • α⩾0\alpha \geqslant 0
Vidéo (David Strütt)

Soit an=(1+αn)n2a_n=\left( 1 + \frac{\alpha}{n} \right)^{n^2}. Remarquons que pour tout α∈R\alpha\in\mathbb{R}, αn→0\frac{\alpha}{n}\to 0 lorsque n→∞n\to\infty. Donc on a, pour tout nn suffisamment grand, que 1+αn>01+\frac{\alpha}{n}\gt 0, et donc ∣an∣=an|a_n|=a_n, qui donne ∣an∣n=ann=(1+αn)n , \sqrt[n]{|a_n|}= \sqrt[n]{a_n}= \left( 1 + \frac{\alpha}{n} \right)^{n}\,, et donc σ=lim⁡n→∞∣an∣n=lim⁡n→∞(1+αn)n=eα . \sigma =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} =\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{\alpha}{n} \right)^{n}=e^\alpha\,. On a donc σ<1\sigma\lt 1 si et seulement si α<0\alpha\lt 0. Remarquons encore que lorsque α=0\alpha=0, le terme général est constant: an=1a_n=1, donc la série diverge.

Donc la série ∑nan\sum_na_n converge si et seulement si α<0\alpha\lt 0.