Question 03
Soit \(\displaystyle\left( a_n\right) _{n\geqslant 1}\) la suite définie par \[ a_n = (-1)^{n} \left(\frac{6n + 8}{2n}\right) - 3 - \frac 4 n. \] Alors:
  • \(\displaystyle\liminf_{n\rightarrow +\infty }a_n=-6\) et \(\displaystyle\limsup_{n\rightarrow +\infty }a_n=0\)
  • \(\displaystyle\liminf_{n\rightarrow +\infty }a_n=-6\) et \(\displaystyle\limsup_{n\rightarrow +\infty }a_n=6\)
  • \(\displaystyle\liminf_{n\rightarrow +\infty }a_n=-3\) et \(\displaystyle\limsup_{n\rightarrow +\infty }a_n=0\)
  • \(\displaystyle\liminf_{n\rightarrow +\infty }a_n=-14\) et \(\displaystyle\limsup_{n\rightarrow +\infty }a_n=0\)
Vidéo (David Strütt)

On remarque que si \(n\) est pair, alors \[ a_n = \left(\frac{6n + 8}{2n}\right) - 3 - \frac{4}{n}=0\,, \] et que si \(n\) est impair, alors \[ a_n =(-1) \left(\frac{6n + 8}{2n}\right) - 3 - \frac{4}{n} =-6-\frac{8}{n}\lt 0\,. \] Ceci implique que \[ M_n=\sup\{a_n,a_{n+1},\dots\}=0\,, \] donc \[ \limsup_{n\to \infty}a_n=0\,, \] et \[\begin{aligned} m_n &=\inf\{a_n,a_{n+1},\dots\}\\ &= \begin{cases} a_n& n \text{ impair}\,,\\ a_{n+1}& n \text{ pair}\,,\\ \end{cases}\\ &= \begin{cases} -6-\frac{8}{n}& n \text{ impair}\,,\\ -6-\frac{8}{n+1}& n \text{ pair}\,, \end{cases} \end{aligned}\] donc \[ \liminf_{n\to \infty}a_n=-6\,. \]