Vidéo (David Strütt)

Par le Théorème Fondamental de l'Algèbre, on sait qu'un polynôme de degré \(3\) avec \(a_3=1\) (la constante devant \(z^3\)) peut se factoriser en \[ (z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)\,. \] Donc pour avoir comme racines \(z_1=3\), \(z_2=1-2 \mathsf{i}\), et \(z_3=1+2\mathsf{i}=\bar{z_2}\), ce polynôme doit être \[\begin{aligned} (z-z_1)(z-z_2)(z-z_3) &=(z-z_1)(z-z_2)(z-\bar{z_2})\\ &=(z-z_1)(z^2-2\mathrm{Re}(z_2)+|z_2|^2)\\ &=(z-3)(z^2-2z+5)\\ &=z^3-5z^2+11z-15\,. \end{aligned}\]