Soient \(\displaystyle\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\), \(\displaystyle\tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\).

1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\tanh(x)\).
2. Montrer que \(\displaystyle\tanh(x)'=\frac{1}{\cosh(x)^2}\).
3. Calculer la limite \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{2x}\log(\tanh(x))\), en justifiant toutes les étapes de votre raisonnement.