Soit \((a_n)_{n\geqslant 1}\) la suite définie par
\(\displaystyle a_n=\mathrm{e}^{-n}\,\mathrm{e}^{n^2\log\left(1+\frac{1}{n}\right)}\).
Alors:
- \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n=1\)
- \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\)
- \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n=0\)
- \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n=\mathrm{e}\)
On utilise un \(DL\) pour \(\log(1+x)\) autour de \(x_0=0\), que l'on utilise
pour \(x=\frac{1}{n}\).