Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que la fonction
\[ f(x)=
\begin{cases}
ax+b & \text{ si }x\leqslant 0\,,\\
\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}&\text{ si }x>0\,,\\
\end{cases}
\]
est dérivable en \(x=0\). Alors:
On commence par imposer que \(f\) soit continue en \(x_0=0\), en posant
\(f(0)=\lim_{x\to 0^+}f(x)\), qui donne \(b=\frac12\). Ensuite, pour que \(f\)
soit dérivable en \(x_0=0\), on doit avoir \(f'_-(0)=f'_+(0)\). Or
\(f'_-(0)=a\), et
\[ f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=-\frac18\,.
\]
Ainsi, \(f(x)=-\frac18 x+\frac12\), et donc \(f(-3)=\frac78\).