On dit qu'une suite tend vers l'infini si pour n'importe quel nombre \(M\), les termes de la suite deviennent plus grand que \(M\) à partir d'un certain indice. Voici la définition formelle.
On dit aussi que la suite diverge vers l'infini.
Il faut penser de \(M\) comme un ''seuil''. Une suite tendant vers \(+\infty\) va,
au bout d'un moment, dépasser et rester au dessus de n'importe quel seuil.
L'indice \(N_0\) à partir duquel elle dépasse seuil dépend de la valeur
de \(M\).
Pour pouvoir facilement parler du comportement d'une suite lorsque l'indice \(n\) devient de plus en plus grand, il est pratique d'introduire la terminologie suivante: étant donné \(N_0\in \mathbb{N}^*\), l'ensemble \(\{n\in \mathbb{N}: n\geqslant N_0\}\) est appelé un voisinage de l'infini. La définition de tendre vers l'infini devient donc: \(a_n\rightarrow \infty\) si pour tout \(M\gt 0\), il existe un voisinage de l'infini tel que \(a_n\geqslant M\) pour des indices \(n\) dans ce voisinage de l'infini.
Exemples:
Exemple:
Soit \(a_n=\frac{n^2-1}{3n}\). Montrons que \(a_n\rightarrow \infty\).
Étant donné un \(M\gt 0\), il nous faut montrer qu'il existe \(N_0\) tel que
\(a_n\geqslant M\) pour tout \(n\geqslant N_0\). On a
\[\begin{aligned}
a_n\geqslant M &\iff \frac{n^2-1}{3n}\geqslant M\\
&\iff n^2-1\geqslant 3Mn\\
&\iff n^2-3Mn-1\geqslant 0\\
&\iff n\in \left]-\infty,
\frac{3M-\sqrt{9M^2+4}}{2}\right]\cup\left[\frac{3M+\sqrt{9M^2+4}}{2},
\infty\right[.
\end{aligned}\]
Exemple:
Soit \(\alpha \gt 0\) et \(a_n = \alpha n\). On va montrer que
\(a_n \rightarrow \infty\).
Etant donné \(M \gt 0\), il faut donner un \(N_0\) tel que \(a_n \gt M\)
pour tout \(n \geqslant N_0\). Or \(\alpha n \gt M \Leftrightarrow n \gt
\frac{M}{\alpha}\).
On choisit donc n'importe quel entier \(N_0 \gt \frac{M}{\alpha}\), il sera tel
que
\[n \geqslant N_0 \Rightarrow n \gt \frac{M}{\alpha} \Rightarrow a_n \gt M.\]
Exemple:
Montrons que \(a_n = \sqrt{n}\) tend vers l'infini.
Etant donné \(M \gt 0\), il faut donner un \(N_0\) tel que \(a_n \gt M\)
pour tout \(n \geqslant N_0\). Or \(\sqrt{n} \gt M \Leftrightarrow n \gt M^2.\)
On choisit donc n'importe quel entier \(N_0 \gt M^2\), il sera tel que
\[n \geqslant N_0 \Rightarrow a_n \gt M.\]
Remarque:
On a montré auparavant que \(a_n = \sqrt{n}\) n'est pas majorée:
\[\forall M \gt 0 \; \exists N \in \mathbb{N}^* \text{ tel que } a_N \gt M.\]
Dans l'exemple ci-dessus, on
vient de montrer que \(a_n = \sqrt{n}\) tend vers l'infini:
\[\forall M \gt 0 \; \exists N \in \mathbb{N}^* \text{ tel que }
n \geqslant N \Rightarrow a_n \gt M.\]
Ces deux affirmations ne sont bien sûr
pas équivalentes: si une suite \(a_n\) tend vers
l'infini, alors pour tout candidat majorant \(M \gt 0 \) qu'on nous propose,
il existe un seuil \(N \) à partir duquel tous les termes de la suite
dépassent
ce \(M\). A plus forte raison, on peut exhiber un terme de la suite qui dépasse
\(M\), ce qui montre que la suite n'est pas majorée. La réciproque est fausse:
par exemple, la suite \((-2)^n\) n'est pas majorée, mais elle ne tend pas
vers l'infini: elle admet une infinité de termes négatifs.
Une suite non majorée ne tend donc pas nécessairement vers l'infini,
mais ce sera le cas si une condition supplémentaire est vérifiée:
si une suite \(a_n\) est croissante et non majorée, alors elle tend vers
l'infini (ce résultat sera prouvé dans un exercice facultatif).
Théorème:[Théorème du chien méchant] Soit \((a_n)\) une suite.
On démontre la première affirmation.
Supposons que \(a_n\geqslant b_n\) pour tout \(n\), et que \(b_n\to+\infty\).
Fixons \(M\gt 0\). Comme \(b_n\to+\infty\), on sait qu'il existe \(N_0\) tel que
\[
b_n\geqslant M\qquad \forall n \geqslant N_0\,.
\]
Puisque \(a_n\geqslant b_n\), ceci implique donc
\[
a_n\geqslant M\qquad \forall n \geqslant N_0\,.
\]
On a donc montré que \(a_n\to+\infty\).
Si la condition \(a_n\geqslant b_n\) n'est vraie qu'à partir d'un certain indice, on a toujours la même conclusion. On a un théorème analogue dans le cas de \(-\infty\).
Exemple:
Reprenons l'exemple ci-dessus.
On a \(a_n=\frac{n^2-1}{3n}\geqslant \frac{n^2-3n}{3n}=\frac{n}{3}-1=:b_n\) pour
tout \(n\in \mathbb{N}^*\).
Or, \(b_n\rightarrow \infty\) (en effet: pour \(M\gt 0\), \(\frac{n}{3}-1\geqslant M
\iff n\geqslant 3M+3\), donc en prenant un entier \(N_0\geqslant 3M+3\), on a \(b_n\geqslant
M\) pour tout \(n\geqslant N_0\)). Par le théorème du chien méchant, on a donc aussi
\(a_n\rightarrow \infty\).
Dernière compilation: 2024-06-03 (22:36:07)
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