Analyse B (MAN)

Preuve:

Supposons que \(a_n\rightarrow L\). Prenons un \(\varepsilon\gt 0\) quelconque, par exemple \(\varepsilon=3\). Puisque \(a_n\rightarrow L\), il existe \(N\) tel que pour tout \(n\geqslant N\), \(|a_n-L|\leqslant 3\). À partir de l'indice \(N\), on a donc \(|a_n|\leqslant 3+|L|\). Si on définit \[ C:=\max\{|a_1|, |a_2|, |a_3|, \ldots, |a_{N-1}|, 3+|L|\}\,, \] alors \(|a_n|\leqslant C\) pour tout \(n\); \((a_n)\) est donc bornée.

On a les propriétés des limites suivantes.

\(a_n \rightarrow L, \lambda\in \mathbb{R} \Longrightarrow \lambda a_n \rightarrow \lambda L\).
\(a_n \rightarrow L_1, b_n\rightarrow L_2 \Longrightarrow a_n + b_n \rightarrow L_1+L_2\).
\(a_n \rightarrow L_1, b_n\rightarrow L_2 \Longrightarrow a_n b_n \rightarrow L_1 L_2\).
\(a_n \rightarrow L_1, b_n\rightarrow L_2\neq 0 \Longrightarrow \frac{a_n}{b_n} \rightarrow \frac{L_1}{L_2}\).
\(a_n \rightarrow L_1, b_n\rightarrow L_2 \text{ et } a_n\leqslant b_n \ \forall n \Longrightarrow L_1 \leqslant L_2\).
\(a_n \rightarrow L \Longrightarrow |a_n| \rightarrow |L|\).
\(a_n \rightarrow 0 \iff |a_n| \rightarrow 0\).

Preuve:

Preuve de 3): Soit \(\varepsilon\gt 0\) donné. Il faut montrer qu'il existe \(N\) tel que \(|a_n b_n-L_1 L_2|\leqslant \varepsilon\) \(\forall n \geqslant N\). Puisque \((b_n)\) est une suite convergente, elle est bornée et il existe donc \(C\) tel que \(|b_n|\leqslant C\) \(\forall n\) (par le théorème précédent).
Comme \(a_n \rightarrow L_1\), \(\exists N_1\) tel que \(|a_n-L_1|\leqslant\frac{\varepsilon}{2C}\) \(\forall n\geqslant N_1\).
Comme \(b_n \rightarrow L_2\), \(\exists N_2\) tel que \(|b_n-L_2|\leqslant\frac{\varepsilon}{2|L_1|}\) \(\forall n\geqslant N_2\).
En prenant \(N:=\max\{N_1,N_2\}\), on a \(\forall n\geqslant N\): \[\begin{aligned} |a_n b_n - L_1 L_2|&= |a_n b_n-L_1 b_n + L_1 b_n-L_1 L_2|\\ &=|b_n(a_n-L_1)+L_1(b_n-L_2)|\\ &\leqslant |b_n(a_n-L_1)|+|L_1(b_n-L_2)|\\ &=|b_n|\cdot|a_n-L_1|+|L_1|\cdot|b_n-L_2|\\ &\leqslant C\frac{\varepsilon}{2C}+|L_1|\frac{\varepsilon}{2|L_1|}\\ &\leqslant \varepsilon. \end{aligned}\]
Preuve de 5): Par l'absurde: supposons que \(L_1\gt L_2\). Soit \(\varepsilon:=\frac{L_1-L_2}{3}\) et prenons \(N_1\) tel que \(a_n\) est dans l'\(\varepsilon\)-voisinage de \(L_1\) \(\forall n\geqslant N_1\), et \(N_2\) tel que \(b_n\) est dans l'\(\varepsilon\)-voisinage de \(L_2\) \(\forall n\geqslant N_2\). En particulier, \(\forall n\geqslant \max\{N_1,N_2\}\), on a \(a_n\gt b_n\), ce qui est absurde.

On laisse les preuves des autres assertions en exercice facultatif.

Exemple: Reprenons l'exemple de \(a_n=\frac{2n^2-1}{n^2+1}\), pour lequel on avait montré que \(a_n\to 2\), uniquement à l'aide de la définition de limite.

Une autre façon d'obtenir le même résultat est de remarquer que \[a_n =\frac{2n^2-1}{n^2+1} =\frac{n^2(2-\frac{1}{n^2})}{n^2(1+\frac{1}{n^2})} =\frac{2-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}.\] Or on peut montrer que \(\frac{1}{n^2}\rightarrow 0\). En effet, pour \(\varepsilon\gt 0\), on a \(\left|\frac{1}{n^2}\right| \leqslant \varepsilon \iff n\geqslant \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\). En prenant \(N\) tel que \(N\geqslant \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\), on a donc \(\left|\frac{1}{n^2}\right| \leqslant \varepsilon\) \(\forall n\geqslant N\).

Donc maintenant, à l'aide des propriétés de la limite listées ci-dessus, \[ \lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}} = \frac{2-\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2}}{1+\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2}} = \frac{2-0}{1+0}=2\,.\]

Théorème:[Théorème des deux gendarmes] Soit \((x_n)\) une suite. S'il existe deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) telles que

\(a_n\leqslant x_n \leqslant b_n\) \(\forall n\) suffisamment grand, et
\(\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=\lim_{n\rightarrow \infty} b_n=L\),

alors \(\lim_{n\rightarrow \infty} x_n=L\).

Preuve:

Soit \(\varepsilon\gt 0\). On cherche un \(N\) tel que \(|x_n-L|\leqslant \varepsilon\) \(\forall n\geqslant N\). On a

\(\exists N_1\) tel que \(|a_n-L|\leqslant \varepsilon\) \(\forall n \geqslant N_1\),
\(\exists N_2\) tel que \(|b_n-L|\leqslant \varepsilon\) \(\forall n \geqslant N_2,\) et
\(\exists N_3\) tel que \(a_n\leqslant x_n \leqslant b_n\) \(\forall n\geqslant N_3\).

Pour \(n\geqslant N:=\max\{N_1,N_2,N_3\}\), on a \[L-\varepsilon\leqslant a_n\leqslant x_n \leqslant b_n\leqslant L+\varepsilon\] et donc \(L-\varepsilon\leqslant x_n\leqslant L+\varepsilon\), ce qui est équivalent à \(|x_n-L|\leqslant \varepsilon\). Donc \(\lim_{n\rightarrow \infty} x_n=L\).

Exemple: Montrons que la suite \(x_n=\frac{(n-1)^2}{n!}\) tend vers zéro.

On va trouver \(a_n, b_n \rightarrow 0\) telles que \(a_n\leqslant x_n \leqslant b_n\). Puisque \(x_n\geqslant 0\) \(\forall n\), on peut prendre \(a_n=0\). Pour trouver une suite \((b_n)\), on remarque que \[\begin{aligned} x_n&=\frac{(n-1)(n-1)}{n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1}=\frac{n-1}{n(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1}\\ &=\left(\frac{n-1}{n}\right) \left(\frac{1}{n-2}\right) \left(\frac{1}{n-3}\right) \cdots \frac{1}{2}\\ &\leqslant \frac{1}{n-2}. \end{aligned}\] On peut donc prendre \(b_n=\frac{1}{n-2}\), et on a \(b_n\rightarrow 0\). Le théorème des deux gendarmes implique que \(x_n\rightarrow 0\).

On peut aussi utiliser ce théorème pour montrer la propriété des limites suivante.

Preuve:

Le résultat suivant est souvent résumé en disant que toute suite monotone et bornée converge.

Exemples:

\(a_n=\frac{n}{n+1}\) est croissante car \[a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\geqslant 0.\] De plus, \(a_n=\frac{n}{n+1}\leqslant \frac{n+1}{n+1}=1\) \(\forall n\), et donc \((a_n)\) est majorée. Par le théorème ci-dessus, \((a_n)\) est convergente.
\(a_n=n\) est croissante mais pas majorée. Cette suite diverge, \(\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=+\infty\).
\(a_n=(-1)^n\) est bornée mais pas monotone. Elle n'a pas de limite.
\(a_n=\frac{(-1)^n}{n}\) est bornée, pas monotone, et converge: \(a_n\rightarrow 0\).

Le dernier exemple montre qu'être monotone et borné n'est pas une condition nécessaire pour la convergence.

1.5 Propriétés des limites