Exemples:

• La suite \(a_n=\frac{1}{n}\) est minorée car \(a_n\geqslant 0\) pour tout \(n\), et majorée car \(a_n\leqslant 1\) pour tout \(n\). Cette suite est donc bornée.
• La suite \(a_n=n^2\) est minorée car \(a_n\geqslant 0\) pour tout \(n\). Par contre, \((a_n)\) n'est pas majorée car il n'existe pas \(M\) tel que \(n^2\leqslant M\) pour tout \(n\).
  Preuve:

  Si \(M\in \mathbb{R}\) était un majorant, on aurait \(n^2\leqslant M\) \(\forall n\). Mais en prenant \(n\gt \sqrt{|M|}\), on a \(n^2\gt |M|\geqslant M\) et donc \(M\) ne peut pas être un majorant de \((a_n)\).

• La suite \(a_n=-n\) est majorée car \(a_n\leqslant 0\) pour tout \(n\). Par contre, \((a_n)\) n'est pas minorée: il n'existe pas \(m\) tel que \(-n\geqslant m\) pour tout \(n\).
• \(a_n=(-1)^n\) est bornée. En effet, \(|a_n|=1\), et donc en particulier \(-1 \leqslant a_n \leqslant 1\) pour tout \(n\).
• \(a_n = (-1)^n \cdot \frac{n-1}{n}\) est bornée. En effet, pour tout \(n\geqslant 1\), \[ |a_n| =\left|\frac{n-1}{n}\right| =\left|1-\frac{1}{n}\right| =1-\frac{1}{n} \lt 1\,. \]
• \(a_n=n\cdot(-1)^n\) n'est ni majorée ni minorée.
• \(a_n=\frac{2n-1}{2n+1}\) est bornée: \(0\leqslant \frac{2n-1}{2n+1} \leqslant \frac{2n}{2n} =1\) pour tout \(n\geqslant 1\).
• \(a_n = \frac{6n+100}{n+10}\) est minorée. En effet, pour tout \(n\geqslant 1\), \[ \frac{6n+100}{n+10} \geqslant \frac{6n}{n+10} \geqslant \frac{6n}{11n} = \frac{6}{11}\,. \] (Dans la deuxième inégalité, on a utilisé le fait que \(10\leqslant 10 n\).) On obtient un minorant un peu meilleur en faisant \[ \frac{6n+100}{n+10} \geqslant \frac{6n+60}{n+10} =\frac{6(n+10)}{n+10} =6\,. \]
• \(a_n = \sqrt{n}\) (\(n\geqslant 0\)) est clairement minorée par \(0\), mais n'est pas majorée. En effet, pour \(M \gt 0\) donné, soit \(A\) le plus petit entier plus grand ou égal à \(M\). Alors \[ a_{A^2+1}=\sqrt{A^2+1} \gt \sqrt{A^2}=A \geqslant M\,. \]

Exemples:

• \(a_n=\frac{1}{n}\) est strictement décroissante car \(a_n=\frac{1}{n}\gt \frac{1}{n+1}=a_{n+1}\) pour tout \(n\).
• \(a_n=n^2\) est strictement croissante car \(a_n=n^2\lt (n+1)^2=a_{n+1}\).
• \(a_n = \sqrt{n}\) est croissante.
• \(a_n=(-1)^n\) n'est ni croissante, ni décroissante.
• \(a_n = (-1)^n \cdot \frac{n-1}{n}\) n'est ni croissante ni décroissante: \(a_2 \gt a_1\) mais \(a_3 \lt a_2\).
• \(a_n=\frac{3n+4}{n+1}\) est strictement décroissante.
  Preuve:

  \[a_n-a_{n+1} =\frac{3n+4}{n+1}-\frac{3(n+1)+4}{(n+1)+1} =\frac{1}{(n+1)(n+2)}\gt 0\,, \] donc \(a_n\gt a_{n+1}\).

• Soit \((\alpha_n)\) une suite telle que \(\alpha_n\geqslant 0\) pour tout \(n\). Alors la suite \((a_n)\) définie par \(a_n=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n\) est croissante, puisque \(a_{n+1}-a_n=\alpha_{n+1}\geqslant 0\).