Analyse B (MAN)

1.1 Introduction

Une suite réelle peut être vue comme une liste infinie de nombres réels, écrit dans un certain ordre: \[ a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots\] Ici, \(a_1\) est le premier terme, \(a_2\) le deuxième terme, etc. On peut parler du terme général, \(a_n\). Le nombre naturel \(n\) est appelé l'indice (ou le rang) de \(a_n\). Voici une définition plus précise.

Une suite de nombres réels est une application \[\begin{aligned} a\colon \mathbb{N}^* &\longrightarrow \mathbb{R}\\ n &\longmapsto a(n)=a_n. \end{aligned}\] On écrit \((a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\), ou simplement \((a_n)\), pour la suite définie ainsi.

Exemple:

\(a_n=n :\) \(1,2,3,4,5,\ldots\)
\(a_n=\frac{1}{n} :\) \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots\)
\(a_n=42 :\) \(42, 42, 42, 42, 42, \ldots\)
\(a_n=(-1)^n :\) \(-1, 1, -1, 1, -1, 1, \ldots\)
\(a_n= n\)-ième chiffre du développement décimal de \(\pi\) (\(\pi=3.14159\ldots\)) : \(1,4,1,5,9,2,\ldots\)

Il y a plusieurs façons de définir des suites:

par une formule explicite de \(a_n\) en fonction de \(n\), par exemple \(a_n=n^2\);
de manière descriptive, ou implicite, par exemple \(a_n= n\)-ième chiffre du développement décimal de \(\pi\);
par une relation de récurrence, où \(a_n\) est exprimé en fonction des termes précédents, en précisant quelques premiers termes, par exemple \(a_{n+1}=2a_n -1, a_1=1\).

Parfois, c'est utile de représenter les suites graphiquement. On peut représenter une suite \((a_n)\) sur la droite réelle \(\mathbb{R}\):

On peut aussi tracer le graphe de la fonction \(a: \mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{R}\), \(a(n)=a_n\) dans le plan:

Les points dessinés sont de la forme \((n,a_n)\).