1.6 Limites ''combinées'' et indéterminations
- \((a_n \rightarrow +\infty \text{ et } b_n \rightarrow +\infty) \Longrightarrow a_n+b_n\rightarrow +\infty\).
- \((a_n \rightarrow +\infty \text{ et } b_n \rightarrow +\infty) \Longrightarrow a_n-b_n\) est indéterminé (''\(\infty-\infty\)'').
Exemples:
- \(\lim_{n\rightarrow \infty} (3^n-2^n)=+\infty\),
- \(\lim_{n\rightarrow \infty} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1-n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0.\)
- \((a_n \rightarrow +\infty \text{ et } b_n \rightarrow +\infty) \Longrightarrow \frac{a_n}{b_n}\) est indéterminé \(\left(''\frac{\infty}{\infty}"\right)\).
Exemple:
- \(\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^2+1}{2n^2-1}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(2-\frac{1}{n^2}\right)}=
\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1+\frac{1}{n^2}}{2-\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{2}.\)
- \((a_n \rightarrow +\infty \text{ et } b_n \text{ est bornée }) \Longrightarrow a_n+b_n \rightarrow +\infty\).
- \((a_n \rightarrow +\infty \text{ et } b_n \rightarrow L, L\neq 0) \Longrightarrow a_n b_n \rightarrow
\begin{cases}
+\infty & \text{ si } L\gt 0,\\
-\infty & \text{ si } L\lt 0.
\end{cases}\)
- \((a_n \rightarrow +\infty \text{ et } b_n \rightarrow 0) \Longrightarrow a_n b_n\) est indéterminé (''\(\infty \times 0\)'').
Exemples:
- \(n^2\cdot\frac{1}{n}\rightarrow +\infty\),
- \(n\cdot\frac{1}{n}\rightarrow 1\),
- \(n\cdot\frac{1}{n^2}\rightarrow 0\),
- \(n\cdot\frac{(-1)^n}{n}\) ne converge pas.
- \((a_n \rightarrow +\infty \text{ et } \exists \delta\gt 0 \text{ tel que } b_n \geqslant \delta \ \forall n \text{ suffisamment grand }) \Longrightarrow\\ a_n b_n\rightarrow +\infty\).
Exemple:
- \(x_n=n\left(1+\frac{1}{3}\cos(n^2+7)\right)\rightarrow +\infty\),
car \(n\rightarrow +\infty\) et \(1+\frac{1}{3}\cos(n^2+7)\geqslant 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}=\delta\gt 0\).
- \((a_n \rightarrow +\infty \text{ et } \exists \delta\gt 0 \text{ tel que } b_n \leqslant -\delta \ \forall n \text{ suffisamment grand }) \Longrightarrow\\ a_n b_n\rightarrow -\infty\).
Remarquons que pour les deux dernières propriétés, il ne suffit pas d'avoir \(b_n\gt 0\) (ou \(b_n\lt 0\)): il nous faut que \(b_n\) ''reste loin de \(0\)''. Par exemple, si \(a_n=n\rightarrow +\infty\) et \(b_n=\frac{1}{n}\), on a \(a_n b_n=1\) \(\forall n\), même si \(b_n\gt 0\) pour tout \(n\).
