1.8 Le nombre \(e\)
Une application importante des suites géométriques est l'existence du
nombre d'Euler, \(e\).
Rappel: la factorielle \(n!\) de \(n\in \mathbb{N}\) est définie par
\[n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdots(n-1)\cdot n.\]
Pour le cas de \(n=0\), on pose \(0!=1\).
Soit \((e_n)\) la suite définie par
\[e_n
:=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{n!}
=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\]
La suite \((e_n)\) converge.
Preuve:
On va montrer que \((e_n)\) est croissante et majorée, et donc elle converge.
- \((e_n)\) est croissante:
\(e_{n+1}=e_n+\frac{1}{(n+1)!}\gt e_n\).
-
\((e_n)\) est majorée:
\(e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\) et pour \(k\geqslant 2\), chaque \(\frac{1}{k!}\) peut être majoré,
\[\frac{1}{k!}=\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 \cdots k}\leqslant \frac{1}{1\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdots 2}=\frac{1}{2^{k-1}}.\]
On a donc
\[e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\leqslant 1+\frac{1}{1!}+\sum_{k=2}^n \frac{1}{2^{k-1}} \leqslant 2+1=3.\]
Alors on a \(e_n\leqslant 3\) \(\forall n\).
-
\((e_n)\) converge car elle est croissante et majorée.
La limite de la suite convergente \((e_n)\) est appelée \(e\).
\[e
=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\right)
=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}.
\]
On note que la valeur numérique de \(e\) est \(2.71828\ldots\).
On peut montrer que \(e=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)
(exercice facultatif).
Remarque:
On a utilisé la notation \(\sum\) pour faciliter (ou pas !) l'écriture des
sommes. C'est utile de savoir manipuler cette notation, voici quelques exemples
de différentes façons d'écrire les mêmes expressions.
- \[1+2+3+4+\cdots 9+10=\sum_{n=1}^{10} n=\sum_{k=1}^{10} k.\]
L'indice utilisé n'importe pas.
- \[2+4+6+\cdots 18+20=\sum_{n=1}^{10} 2n= 2\sum_{n=1}^{10} n.\]
Ceci découle des règles basiques de calcul.
- \[1+2+3+4+\cdots 9+10=\sum_{n=1}^{10} n=\sum_{k=2}^{11} (k-1).\]
Ceci découle d'un changement d'indice, \(k=n+1\).
- \[\text{ Si } |r|\lt 1, \ r^N\sum_{n=0}^\infty r^n=\sum_{n=N}^\infty r^n.\]
Ceci découle de la définition de cette somme infinie (cf. exercice facultatif).
- \[\sum_{n=1}^{10} k=10k.\]
Dans cet exemple, l'indice n'apparaît pas dans l'expression, c'est donc la somme \(k+k+\cdots +k\), où \(k\) apparaît \(10\) fois.
Attention: \(\sum_{n=0}^{10} k=11k.\)
