Exemples:
- Soit \[f(x)= \begin{cases} x & \text{ si } x\lt 3,\\ x^2 & \text{ si } x\geqslant 3. \end{cases}\] On a \(\lim_{x\rightarrow 3^-}f(x)=3 \neq 9= \lim_{x\rightarrow 3^+}f(x)\), et donc \(\lim_{x\rightarrow 3}f(x)\) n'existe pas.
- Soit \[f(x)= \begin{cases} x & \text{ si } x\leqslant 2,\\ \frac{x}{2}+1 & \text{ si } x\gt 2. \end{cases}\] On a \(\lim_{x\rightarrow 2^-}f(x) =2 =\lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)\), et donc \(\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=2\).
- Soit \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^4+3x^2}}\) et \(x_0=0\). On a \[\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x) &=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{x}{|x|\sqrt{x^2+3}}\\ &=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{x}{-x\sqrt{x^2+3}}\\ &=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{-1}{\sqrt{x^2+3}}=\frac{-1}{\sqrt{3}}\,, \end{aligned}\] et \[\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x) &=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x}{|x|\sqrt{x^2+3}}\\ &=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x}{x\sqrt{x^2+3}}\\ &=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{\sqrt{x^2+3}} =\frac{1}{\sqrt{3}}\,. \end{aligned}\] La limite \(\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\) n'existe donc pas.
- La fonction signe est définie comme suit:
\[\text{sgn}(x)=
\begin{cases}
1 & \text{ si } x\gt 1,\\
-1 & \text{ si } x\lt 1.
\end{cases}\]
Elle n'admet pas de limite en \(0\) puisque \(\lim_{x\rightarrow 0^-}\text{sgn}(x) = -1\) et \(\lim_{x\rightarrow 0^+}\text{sgn}(x) = 1\).
