Analyse B (MAN)

Les résultats de la section ont montré que la fonction aire est une fonction dont la dérivée est égale à \(f\). La nouvelle définition suivante est donc naturelle:

Par le Théorème Fondamental de l'Analyse (1ère partie), toute fonction continue possède au moins une primitive, sa fonction aire associée \(A(x)\). (Ceci ne veut pas dire que la fonction \(A(x)\) est facile à exprimer!)

De plus, la primitive d'une fonction n'est pas unique. En effet, puisque la dérivée d'une constante \(C\in\mathbb{R}\) est nulle, si \(F(x)\) est une primitive de \(f\), alors \(F(x)+C\) l'est aussi.

Exemple: \(F_1(x)=\frac{x^2}{2}\) et \(F_2(x)=\frac{x^2}{2}+42\) sont toutes les deux primitives de \(f(x)=x\).

Donc une fonction qui possède une primitive en possède une infinité.

Le lemme suivant assure que sur un intervalle, toutes les primitives d'une fonction sont de la même forme:

Lemme: Soit \(f\) définie sur \([a,b]\). Si \(F_1, F_2\) sont deux primitives de \(f\) sur cet intervalle, alors il existe une constante \(C\in \mathbb{R}\) telle que \(F_2(x)=F_1(x)+C\) pour tout \(x\in ]a,b[\).

Ce lemme n'est plus vrai si le domaine n'est pas un intervalle mais une union d'intervalles disjoints.

Par le lemme et les remarques ci-dessus, étant donnée une primitive \(F\) de \(f\) sur un intervalle, on a \[ \int f(x) \, dx= \{ F(x)+C: C\in \mathbb{R}\}\,. \] Par abus de notation , on écrira aussi \[ \int f(x) \, dx= F(x) +C\,, \] où \(C\) désigne une constante arbitraire.

Quelques exemples de primitives de fonctions élémentaires:

Exemples:

\(\int x^n \ dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C\),
\(\int \frac{1}{x} \ dx = \ln|x| +C, (x\neq 0)\),
\(\int \cos(x) \ dx = \sin(x) +C\),
\(\int \sin(x) \ dx = -\cos(x) +C\),
\(\int e^x \ dx = e^x +C\),

Sur la recherche des primitives

Exemples:

\[\begin{aligned} \int \cos(3x) \ dx &= \frac{1}{3} \int 3 \cos(3x) \ dx\\ &=\frac{1}{3} \int (\sin(3x))' \ dx\\ &=\frac{1}{3}\left(\sin(3x)+C\right)\\ &=\frac{1}{3}\sin(3x) + C'\,, \end{aligned}\] où \(C'\) est la constante \(\frac{C}{3}\). Puisque \(C\) peut être une constante quelconque, \(C'\) peut aussi prendre toutes les valeurs réelles. Ainsi, on peut simplement écrire \[ \int \cos(3x) \ dx =\frac{1}{3}\sin(3x) + C\,. \] On fera souvent ce genre de simplification par la suite.
\[\begin{aligned} \int \cos^2(x) \ dx &= \int \frac{1+\cos(2x)}{2} \ dx\\ &=\frac{1}{2}\int 1 \ dx + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int 2\cos(2x) \ dx\\ &=\frac{1}{2}(x+C_1)+\frac{1}{4}[\sin(2x)+C_2]\\ &=\frac{1}{2} x +\frac{1}{4} \sin(2x) +C. \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \int \sin^2(x) \ dx &= \int [1-\cos^2(x)] \ dx\\ &=x- \left[\frac{1}{2} x +\frac{1}{4} \sin(2x)\right] +C\\ &=\frac{1}{2} x -\frac{1}{4} \sin(2x) +C. \end{aligned}\]
\[ \int \frac{e^x}{e^x+1} \, dx =\int \frac{(e^x+1)'}{e^x+1} \, dx = \ln(e^x+1) +C\,. \]

7.4 Primitives

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