Analyse B (MAN)

Soient \(f,g\) deux fonctions dérivables. La règle de dérivation pour leur produit, \[ (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \] peut s'écrire \[ f'(x)g(x)=(f(x)g(x))'-f(x)g'(x)\,. \] Si on suppose que \(f'\) et \(g'\) sont continues, le théorème fondamental garantit que la fonction \(f'(x)g(x)\) possède une intégrale indéfinie, et \[ \int f'(x)\cdot g(x) \, dx =\underbrace{\int (f(x)\cdot g(x))' \ dx}_{=f(x)\cdot g(x)} -\int f(x)\cdot g'(x) \, dx\,. \] C'est la formule d'intégration par parties: \[ \int f'(x)\cdot g(x) \, dx =f(x)\cdot g(x) -\int f(x)\cdot g'(x) \, dx \] On utilise cette formule lorsqu'on cherche la primitive d'un produit dans lequel on a pu identifier une partie que l'on va intégrer, \(f'(x)\), et une partie que l'on va dériver, \(g(x)\).

Exemples:

\[\begin{aligned} \int \underbrace{x}_{g(x)}\cdot \underbrace{\sin(x)}_{f'(x)} \ dx &= -\cos(x)\cdot x - \int(-\cos(x) \cdot 1) \ dx\\ &=-x\cos(x)+\int \cos(x) \ dx\\ &=-x \cos(x) + \sin(x) +C. \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \int \underbrace{x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{\ln(x)}_{g(x)} \ dx &= \frac{x^2}{2}\cdot \ln(x) - \int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x} \ dx\\ &=\frac{x^2}{2}\cdot \ln(x) -\frac{1}{2}\int x \ dx\\ &=\frac{x^2}{2}\cdot \ln(x) -\frac{1}{4}x^2 +C. \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \int \ln(x) \ dx &= \int \underbrace{1}_{f'(x)}\cdot \underbrace{\ln(x)}_{g(x)} \ dx\\ &= x\cdot \ln(x) - \int x\cdot \frac{1}{x} \ dx\\ &=x \cdot \ln(x) - x +C. \end{aligned}\]

Avec la notation \(F(x)|^b_a:=F(b)-F(a)\), on peut aussi donner une version de l'intégration par parties pour les intégrales définies: \[\int_a^b f'(x) \cdot g(x) \ dx = f(x)g(x)|^b_a - \int_a^b f(x)\cdot g'(x) \ dx.\]

7.6 Intégration par parties