Analyse B (MAN)

7.9 Intégration de fonctions rationnelles

Dans cette section, on considère des intégrales de la forme \[\int \frac{P(x)}{Q(x)} \ dx, \text{ où } P(x), Q(x) \text{ sont des polynômes.}\] Pour trouver ces primitives, on va décomposer la fonction rationnelle en éléments simples qu'on sait intégrer. On sait intégrer les cas simples suivants.

\(\int \frac{1}{x} \ dx = \ln|x| +C\)
\(\int \frac{1}{x^n} \ dx = \frac{x^{-n+1}}{-n+1} +C\) (\(n\neq 1\))
\(\int \frac{1}{x^2+1} \ dx = \arctan(x) +C\)
\(\int \frac{x}{x^2+1} \ dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1} \ dx=\frac{1}{2}\int \frac{u'(x)}{u(x)} \ dx= \frac{1}{2} \ln(x^2+1) +C\)

Exemples:

En posant \(u=\frac{x}{\sqrt{3}}\), \(du=\frac{dx}{\sqrt{3}}\), on a \[\begin{aligned} \int \frac{1}{x^2+3} \ dx&=\frac{1}{3} \int \frac{1}{\frac{x^2}{3}+1} \ dx\\ &=\frac{1}{3}\int \frac{1}{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2+1} \ dx\\ &=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3} \int \frac{1}{u^2+1} \ du\\ &=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(u) +C\\ &=\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C. \end{aligned}\]
En posant \(u=\frac{x+1}{\sqrt{2}}\), \(du=\frac{dx}{\sqrt{2}}\), on a \[\begin{aligned} \int \frac{1}{x^2+2x+3} \ dx&=\int \frac{1}{(x+1)^2+2} \ dx\\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)^2+1} \ dx\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right) +C. \end{aligned}\]
On remarque que \((x^2+x+1)'=2x+1\), et \(3x+1=\frac{3}{2}(2x+1)-\frac{1}{2}\), et donc \[\begin{aligned} \int \frac{3x+1}{x^2+x+1} \ dx &= \frac{3}{2} \int \underbrace{\frac{2x+1}{x^2+x+1} \ dx}_{u=x^2+x+1} - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+x+1} \ dx\\ &=\frac{3}{2}\ln(x^2+x+1)-\frac{1}{2}\int \frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} \ dx\\ &=\frac{3}{2}\ln(x^2+x+1)-\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3} \int \underbrace{\frac{1}{\left(\frac{x+1/2}{\sqrt{3}/2}\right)^2+1}}_{u=\frac{x+1}{\sqrt{3}/2}} \ dx\\ &=\frac{3}{2}\ln(x^2+x+1)-\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \arctan\left(\frac{x+1/2}{\sqrt{3}/2}\right)\\ &=\frac{3}{2}\ln(x^2+x+1)-\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\frac{x+1/2}{\sqrt{3}/2}\right)+C. \end{aligned}\]

Les exemples ci-dessus sont du type \[\int \frac{ex+f}{ax^2+bx+c} \ dx, \quad \Delta=b^2-4ac\lt 0.\] Pour un discriminant \(\lt 0\), on peut exprimer le dénominateur sous la forme \((\alpha x +\beta)^2+\gamma\), \(\gamma\gt 0\), et on sait donc comment traiter ces cas en utilisant \(\ln\) et \(\arctan\), comme ci-dessus. Le cas \(\Delta\lt 0\) correspond à un polynôme irréductible qui n'a pas de racines réelles, et donc ne se factorise pas (sur \(\mathbb{R}\)).

Que peut-on faire si \(\Delta\geqslant 0\) ? Si \(\Delta\geqslant 0\) pour le dénominateur, alors il a des racines réelles et on peut le factoriser. On utilise cette factorisation pour le décomposer en éléments simples.

Exemple: Pour calculer \(\int \frac{1}{x^2-1} \ dx\), où \(\Delta\gt 0\), on essaie d'abord de trouver des constantes \(A, B\in \mathbb{R}\) telles que \[\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}, \quad (\forall x\neq \pm 1).\] On a \[\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}=\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{(A+B)x+(A-B)}{(x-1)(x+1)},\] et donc \[(A+B)x+(A-B)=1,\] ce qui implique \(A+B=0\) et \(A-B=1\). On résout ce système pour trouver \[ A=\tfrac{1}{2}\,, \qquad B=-\tfrac{1}{2}\,. \] On a donc \[\begin{aligned} \int \frac{1}{x^2-1} \ dx &=\int \frac{1/2}{x-1} \ dx + \int \frac{-1/2}{x+1} \ dx\\ &=\frac{1}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2} \ln|x+1| +C\\ &=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| +C. \end{aligned}\]

À la fin de la section, on discute encore de comment trouver les coefficients \(A,B,\dots\).

Méthode générale

On décrit maintenant la procédure à suivre dans le cas général. Soit \[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\] une fonction rationnelle (\(P(x), Q(x)\) polynômes).

Si \(\deg(P) \geqslant \deg(Q)\), effectuer la division polynomiale pour trouver \[f(x)=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)},\] où \(S(x), R(x)\) sont des polynômes, et \(\deg(R)\lt \deg(Q)\).
Exemple: \[ \frac{4x^3-22x^2-4x+4}{2x^2+x-1}=2x-12+\frac{10x-8}{2x^2+x-1}\,. \]
Factoriser le plus possible le dénominateur \(Q(x)\) (en facteurs irréductibles).
Exemple: \(x^3-1=(x-1)\underbrace{(x^2+x+1)}_{\Delta\lt 0}\).
Maintenant on a les possibilités suivantes.
- Cas I: Si \(Q(x)\) peut être factorisé en un produit de \(k\) facteurs de degré \(1\) distincts, \[Q(x)=(a_1x+b_1)(a_2x+b_2) \cdots (a_kx+b_k),\] alors on cherche des constantes \(A_1, A_2, \ldots A_k\) telles que \[\frac{R(x)}{Q(x)}=\frac{A_1}{a_1x+b_1}+\frac{A_2}{a_2x+b_2}+ \cdots \frac{A_k}{a_kx+b_k}.\]
  Exemple: \[ \frac{x+6}{x(x-4)(3x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-4}+\frac{C}{3x+2}\,. \]
- Cas II: Si un des facteurs de degré \(1\) de \(Q(x)\) est de multiplicité \(r\), \((ax+b)^r\), alors on ajoute à la décomposition en éléments simples les termes \[\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b)^2}+\cdots +\frac{A_r}{(ax+b)^r}.\]
  Exemple: \[ \frac{x^3-x+1}{x^2(x-5)^3} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-5}+\frac{D}{(x-5)^2}+\frac{E}{(x-5)^3}\,. \]
- Cas III: Si un des facteurs de \(Q(x)\) est un facteur irréductible du type \(ax^2+bx+c\) où \(\Delta=b^2-4ac\lt 0\), alors on ajoute à la décomposition en éléments simples le terme \[\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}.\]
  Exemple: \[ \frac{x}{(x-7)(x^2+1)(x^2+4)} =\frac{A}{x-7}+\frac{Bx+C}{x^2+1}+\frac{Dx+E}{x^2+4} \]
- Cas IV: Si un des facteurs de \(Q(x)\) est un facteur irréductible de degré \(2\) de multiplicité \(r\), \((ax^2+bx+c)^r\) avec \(\Delta=b^2-4ac\lt 0\), alors on ajoute à la décomposition en éléments simples les termes \[ \frac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}+\frac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+\cdots +\frac{A_rx+B_r}{(ax^2+bx+c)^r}\,. \]
  Exemple: \[\begin{aligned} \frac{x^3+x^2+1}{(x+7)(x^2+x+1)(x^2+1)^3}&\\ =\frac{A}{x+7} +\frac{Bx+C}{x^2+x+1} &+\frac{Dx+E}{x^2+1} +\frac{Fx+G}{(x^2+1)^2} +\frac{Hx+I}{(x^2+1)^3} \end{aligned}\]

Exemple: Calculons \[\int\frac{2x^{2}-2x+12}{x^{3}+3x}\ dx.\] On factorise le dénominateur. On a \(x^{3}+3x=x(x^{2}+3).\) La décomposition en éléments simples est donc \[\begin{aligned} \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+3} &=\frac{A(x^{2}+3)+x(Bx+C)}{x(x^{2}+3)}\\ &=\frac{(A+B)x^{2}+Cx+3A}{x(x^{2}+3)}\\ =\frac{2x^{2}-2x+12}{x(x^{2}+3)} \end{aligned}\] On obtient donc le système d'équations \[\begin{cases} A+B & =2\\ C & =-2\\ 3A & =12 \end{cases}\] dont la solution est \(A=4\), \(B=-2\) et \(C=-2\). Ainsi \[\begin{aligned} \int\frac{2x^{2}-2x+12}{x^{3}+3x}\ dx &=\int\left[\frac{4}{x}+\frac{-2x-2}{x^{2}+3}\right]\ dx\\ &=\int\frac{4}{x}\ dx-\int\frac{2x}{x^{2}+3}\ dx-\int\frac{2}{x^{2}+3}\ dx\\ &=4\ln\left|x\right|-\ln(x^{2}+3) -\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C. \end{aligned}\]

Sur la recherche des coefficients

Lorsqu'on décompose une fraction en éléments simples, on peut toujours trouver les coefficients par identification comme on l'a fait jusqu'ici. Mais on peut aussi utiliser la méthode dite d'évaluation pour rendre les calculs plus rapides.

Exemple: Décomposons \(\frac{5x-3}{(x+1)(x-3)}\) en éléments simples. On pose \[\frac{5x-3}{(x+1)(x-3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-3}.\] Pour calculer les coefficients \(A\) et \(B\), on peut mettre les fractions au même dénominateur et identifier les coefficients des polynômes au numérateur de part et d'autre de l'égalité: \[ \frac{5x-3}{(x+1)(x-3)} =\frac{A(x-3) + B(x+1)}{(x+1)(x-3)} =\frac{(A+B)x + (B-3A)}{(x+1)(x-3)}\,, \] ce qui nous amène à résoudre le système \[\begin{cases} A+B & =5\\ B- 3A & =-3 \end{cases}\] pour obtenir \(A = 2, B = 3\).

Mais on peut aussi partir de l'équation \[\frac{5x-3}{(x+1)(x-3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-3},\] qui doit être valide pour tout \(x\not\in\{-1,3\}\), multiplier les deux côtés par \((x+1)\), et faire tendre \(x\) vers \(-1\) (ce qui revient ici à l'évaluer simplement en \(x=-1\)) pour obtenir le coefficient \(A\): \[\frac{5x-3}{x-3} = A+ \frac{B(x+1)}{x-3} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{-5-3}{-1-3} = A = 2.\] De même en multipliant les deux côtés par \((x-3)\) et en faisant tendre \(x\) vers \(3\), on obtient la valeur du coefficient \(B\): \[\frac{5x-3}{x+1} = \frac{A(x-3)}{x+1} + B \qquad \Rightarrow \qquad \frac{15-3}{3 + 1} = B = 3.\]

Exemple: Décomposons \(\frac{x^2+2}{x(x+1)^2}\) en éléments simples. On pose \[ \frac{x^2+2}{x(x+1)^2} =\frac{A}{x} +\frac{B}{x+1} +\frac{C}{(x+1)^2}\,. \]

On multiplie les deux côtés de l'identité par \(x\) et on fait tendre \(x\) vers \(0\): \[ \frac{x^2+2}{(x+1)^2} = A+\frac{Bx}{x+1} +\frac{Cx}{(x + 1)^2} \qquad \Rightarrow \qquad A=2\,. \]
On multiplie les deux côtés de l'identité par \((x + 1)^2\) et on fait tendre \(x\) vers \(-1\): \[\frac{x^2+2}{x} = A(x+1)^2+B(x+1) + C \qquad \Rightarrow \qquad C=-3.\]
Pour trouver le dernier coefficient \(B\), on peut évaluer l'identité en une valeur quelconque, par exemple en \(x = 1\): \[ \frac{3}{4}= \frac{2}{1} + \frac{B}{2} -\frac{3}{4} \qquad \Rightarrow \qquad B=-1\,. \] Alternativement, on peut aussi multiplier l'identité \[\frac{x^2+2}{x(x+1)^2}= \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} +\frac{C}{(x + 1)^2}\] par \(x\), pour obtenir \[\frac{x^2+2}{(x+1)^2}= A + \frac{Bx}{x + 1} +\frac{Cx}{(x + 1)^2},\] et prendre la limite \(x \to +\infty\) pour trouver \[1= A + B \qquad \Rightarrow \qquad B=-1\,.\] L'idée est de multiplier l'égalité par une puissance de \(x\) assez grande pour que la fraction de gauche admette une limite, et assez petite pour que le terme contenant le coefficient qu'on cherche (ici, \(B\)) survive le passage à la limite.

Exemple: Décomposons \(\frac{x^2+x+2}{x(x^2+1)}\) en éléments simples. On pose \[\frac{x^2+x+2}{x(x^2+1)}= \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}.\]

On multiplie les deux côtés de l'identité par \(x\) et on fait tendre \(x\) vers \(0\): \[ \frac{x^2+x+2}{x^2+1} =A+\frac{(Bx + C)x}{x^2 + 1} \qquad \Rightarrow \qquad A=2\,. \]
On multiplie les deux côtés de l'identité par \(x\) et on fait tendre \(x \to +\infty\): \[ 1=A+B \qquad \Rightarrow \qquad B=-1\,. \]
On évalue en n'importe quelle valeur de \(x\), par exemple \(x=1\): \[ \frac{4}{2} =\frac{2}{1}+\frac{C-1}{2} \qquad \Rightarrow \qquad C=1\,. \]