Analyse B (MAN)

Dans cette section, on suppose que \(f\) est continue, et \(g\) est dérivable avec \(g'\) continue.

On a déjà vu l'expression \[ \int f(g(x))\cdot g'(x) \ dx = F(g(x)) +C\,, \] où \(F\) est une primitive de \(f\). Pour rendre plus clair l'étape qui consiste à chercher la primitive de \(f\), récrivons cette expression à l'aide d'une étape intermédiaire, en voyant \(g(x)\) comme une nouvelle variable: \[ g(x)=u\,. \] On a donc \[ u'= \frac{du}{dx}= g'(x)\,, \] ce qui mène à l'association ''\(du=g'(x) dx\)''. On peut ainsi écrire notre intégrale indéfinie en termes de \(u\) seulement: \[ \int f(\underbrace{g(x)}_{u})\cdot \underbrace{g'(x) \ dx}_{du} =\int f(u) \, du \,. \] On a ainsi isolé la difficulté, qui est de calculer \[ =\int f(u) \, du =F(u)+C\,. \] Ensuite, on revient à la variable \(x\), \[ F(u)+C=F(g(x))+C\,. \]

Exemples:

Calculons \( \int \cos(3x)\ dx \), en posant \(u=3x\), \(du=3 dx\): \[\begin{aligned} \int \cos(3x)\ dx &=\int \cos(u) \ \frac{du}{3}\\ &=\frac{1}{3}\int \cos(u) \ du\\ &=\frac{1}{3} \sin(u) +C \\ &= \frac{1}{3}\sin(3x)+C \end{aligned}\]
Calculons \(\int x \cdot e^{x^2+1} \ dx\) En posant \(u=x^2+1\), \(du = 2x dx\):

\(\int x \cdot e^{x^2+1} \ dx= \int e^u \ \frac{du}{2}= \frac{1}{2}\int e^u\ du = \frac{1}{2} e^u +C = \frac{1}{2} e^{x^2+1}+C.\)
En posant \(u=x+1\), \(du=1\cdot dx\):

\(\int (x+1)^{1000} \ dx = \int u^{1000} \ du = \frac{u^{1001}}{1001}+C=\frac{(x+1)^{1001}}{1001}+C.\)
En posant \(u=\sqrt{x}+1\), \(du=\frac{1}{2\sqrt{x}} dx\) (\(\iff\) \(\sqrt{x}=u-1\), \(dx=2(u-1) du\)): \[\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \ dx &= \int \frac{u-1}{u} \cdot 2(u-1) du\\ &=2 \int \frac{(u-1)^2}{u} \ du\\ &=2 \int \left(u-2+\frac{1}{u}\right) \ du\\ &=u^2-4u+2\ln|u| +C\\ &=(\sqrt{x}+1)^2-4(\sqrt{x}+1)+2\ln(\sqrt{x}+1)+C\\ &=x+2\sqrt{x}+1-4\sqrt{x}-4+2\ln(\sqrt{x}+1)+C\\ &=x-2\sqrt{x}+2\ln(\sqrt{x}+1)+C. \end{aligned}\]

Voici la version de l'intégration par changement de variable pour les intégrales définies: \[\int_a^b f'(g(x))\cdot g'(x) \ dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f'(u) \ du = f(u)|^{g(b)}_{g(a)}=f(g(b))-f(g(a)).\]

7.7 Intégration par changement de variable