Analyse B (MAN)

7.5 Théorème fondamental de l'analyse (2)

Théorème: (Théorème Fondamental de l'Analyse, 2ème partie) Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) continue. Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors \[\int_a^b f(x) \ dx= F(b)-F(a).\]

Preuve:

On sait que la fonction ''aire'' \(A(x)=\int_a^x f(t) \ dt\) est une primitive de \(f\). Par le lemme sur les primitives précédent, il existe une constante \(C\in\mathbb{R}\) telle que \[A(x)=F(x)+C.\] Mais \(A(a)=0\), donc \(0=F(a)+C\), d'où \(C=-F(a)\). Ceci implique que \(A(x)=F(x)-F(a)\), et donc \[\int_a^b f(x) \ dx=A(b)= F(b)-F(a).\]

Exemples:

Reprenons l'exemple \(f(x)=1-x^2\). On a la primitive \(F(x)=x-\frac{x^3}{3}\), et donc le Théorème Fondamental ci-dessus implique que \[\begin{aligned} \int_{-1}^1(1-x^2) \, dx &=F(1)-F(-1)\\ &=\left(1-\frac{1^3}{3}\right)-\left(-1-\frac{(-1)^3}{3}\right)\\ &=2-\frac{2}{3} =\frac{4}{3}\,, \end{aligned}\] comme nous avions trouvé au début du chapitre.
\[\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \ dx = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin(0) =1\,, \] comme calculé aux exercices.

Exemple: Supposons que \(f\) est une fonction continue. Si on définit \[G(x) :=\int_x^{\sin(x)} f(t) \, dt\,, \] comment calculer sa dérivée \(G'(x)\)?

Puisque \(f\) est continue, elle possède une primitive \(F\): \(F'=f\). Le Théorème Fondamental permet donc d'affirmer que \[G(x)=F(\sin(x))-F(x)\,.\] Ainsi, \[\begin{aligned} G'(x) &=[F(\sin(x))-F(x)]'\\ &=(\sin(x))'\cdot F'(\sin(x))-F'(x)\\ &=\cos(x)f(\sin(x))-f(x)\,. \end{aligned}\] Donc on n'a pas besoin de connaître \(F\) pour connaître \(G'\).