Analyse B (MAN)

Exemples:

Si \(f(x)=C\) \(\forall x \in [a,b]\) (une fonction constante), alors \[A(x)=\int_a^x C \ dt = C(x-a).\]
Si \(f(x)=mx+h\) \(\forall x \in [a,b]\), alors \[\begin{aligned} A(x)&=\int_a^x (mt+h) \ dt\\ &=\frac{f(a)+f(x)}{2}\cdot(x-a) \quad \text{(aire de trapèze)}\\ &=\frac{(ma+h)+(mx+h)}{2}\cdot(x-a)\\ &=\left(\frac{1}{2}mx^2+hx\right) - \left(\frac{1}{2}ma^2+ha\right). \end{aligned}\]

On a vu dans ces deux exemples que la fonction aire était dérivable et que de plus \(A'(x)=f(x)\). Cette propriété est vraie en général:

Théorème: (Théorème Fondamental de l'Analyse, 1ère partie) Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) continue, et soit \(A:[a,b]\to \mathbb{R}\) la fonction aire associée. Alors \(A(x)\) est dérivable sur \(]a,b[\) et \[A'(x)=f(x) \quad \forall x\in ]a,b[.\]

Preuve:

On doit montrer que pour tout \(x\in ]a,b[\), \[ \lim_{h\to 0} \frac{A(x+h)-A(x)}{h}=f(x)\,. \] Soit donc \(x\in ]a,b[\), et soit \(h\gt 0\).

Par la relation de Chasles, on a \[A(x+h)=\underbrace{\int_a^x f(t) \ dt}_{=A(x)} + \int_x^{x+h} f(t) \ dt.\] Alors il découle que \[\frac{A(x+h)-A(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t) \ dt.\] Par le Théorème de la moyenne, il existe \(c_h\in]x,x+h[\) tel que \[ \int_x^{x+h} f(t) \ dt=f(c_h)\cdot[(x+h)-x]=hf(c_h)\,. \] L'expression du dessus devient donc \[\frac{A(x+h)-A(x)}{h}=f(c_h).\] Lorsque \(h\to 0^+\), on a \(c_h\to x^+\), et donc \[ \lim_{h\to 0^+} \frac{A(x+h)-A(x)}{h} =\lim_{h\to 0^+} f(c_h) =\lim_{c\to x^+} f(c) =f(x)\,. \] La dernière égalité découle du fait que \(f\) est une fonction continue. L'affirmation dans le cas \(h\to 0^-\) se montre de manière analogue, et on a donc \(\lim_{h\to 0} \frac{A(x+h)-A(x)}{h}=f(x)\), pour tout \(x\in ]a,b[\).

7.3 Théorème fondamental de l'analyse (1)