Analyse B (MAN)

2.2 Parité

\(f\) est dite paire si \(f(-x)=f(x)\) \(\forall x\in D_f\).
\(f\) est dite impaire si \(f(-x)=-f(x)\) \(\forall x\in D_f\).

Graphiquement, une fonction est paire si son graphe possède l'axe \(Oy\) comme axe de symétrie. Une fonction est impaire si son graphe a l'origine comme centre de symétrie (par un angle de \(180^{\circ}\)).

Exemples:

Exemples de fonctions paires: \(x^2, |x|, \cos(x)\).
Exemples de fonctions impaires: \(x, x^3, \mathrm{sgn}(x), \sin(x)\).
Plus généralement, \(x^p\) est paire si \(p\in \mathbb{Z}\) est pair, et impaire si \(p\in \mathbb{Z}\) est impair.
\(f(x)=x-1\) n'est ni paire ni impaire, par ex. \(f(-1)=-1-1=-2\) et \(f(1)=1-1=0\), donc \(f(-1)\neq f(1)\) et \(f(-1)\neq -f(-1)\).

On remarque que pour montrer qu'une fonction \(f\) n'est pas paire, il suffit de trouver un \(x_0\) tel que \(f(-x_0)\neq f(x_0)\). De manière analogue, pour montrer qu'une fonction \(f\) n'est pas impaire, il suffit de trouver un \(x_0\) tel que \(f(-x_0)\neq -f(x_0)\).

On n'a pas besoin de connaître le graphe de la fonction pour vérifier qu'elle est paire ou impaire: on peut le faire algébriquement.

Exemple: La fonction définie par \[\cosh(x):=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\,,\qquad x\in \mathbb{R}\] est paire, puisque \[ \cosh(-x) =\frac{e^{-x}+e^{-(-x)}}{2} =\frac{e^{-x}+e^x}{2}=\cosh(x)\,. \]